定积分及简单应用

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1、第17讲定积分及简单应用【考点解读】1．定积分与微积分基本定理　如果函数在区间［a，b］上连续，用分点将区间［a，b］等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间［a，b］上的定积分，记作，即．2．性质：由定积分的定义，可得到定积分的如下性质：　　（1）（为常数）；　　（2）；　　（3）。（其中a＜c＜b）3．几何意义：（1）当在区间［a，b］中，函数f（x）≥０，定积分在几何上表示：由曲线y=f（x）、直线x=a，x=b及x轴所围

2、成的曲线梯形的面积Ｓ，如图1所示，即；（2）当在区间［a，b］中，函数f（x）≤0时，在几何上表示如图2所示，它等于所示曲线梯形面积的负值，即；（3）当f（x）在区间［a，b］上有正有负时，积分f（x）dx在几何上表示如图3所示的几个小曲边梯形面积的代数和．在x轴上方取正号，在x轴下方取负号，．4．求定积分的方法：　　（1）定义法：　①分割：n等分区间［a，b］；　②近似代替：取点；　　③求和：；　④取极限：；（2）微积分基本定理：一般地，如果，且f（x）在［a，b］上可积，．5．求平面图形的面积

3、的一般步骤：（1）画出图形，将其适当地分割成若干个曲边梯形；（2）对每一个曲边梯形确定被积函数与积分上下限，用定积分表示其面积；（3）计算各个定积分，求出所求的面积．关键环节：认定曲边梯形，选定积分变量，确定被积函数与积分上下限．注意：当所围成的图形在x轴下方时，积分值为负，因此面积为积分数值的绝对值．【知识扫描】1.定积分的概念如果函数在区间［a,b］上连续，用分点a=x0

4、2,…,n),作和式Δx=.当n→∞时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间［a,b］上的定积分，记作：dx,即dx=.a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a,b］叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做积式.(1)定积分dx是一个常数；(2)定积分的几何意义：(ⅰ)当函数在区间［a,b］上恒为正时,定积分dx的几何意义是由曲线和直线所围成的曲边梯形的面积(如图中阴影部分).(ⅱ)一般情况下定积分dx的几何意义是介于x轴，函数y=的图象以及直线,之间的曲边梯形面积的代数和

5、(如图)，其中在x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号.(3)定积分的性质.=k(k为常数)；dx=±=+(其中a

6、b)-F(a).(3)利用定积分的几何意义求定积分.4.定积分的简单应用(1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积.(2)定积分在物理中的应用：求变速直线运动的路程:s=(v(t)为速度函数).求变力所做的功:W=.【考计点拨】牛刀小试：1．（2011高考湖南卷）由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A.B.1C.D.2．(2009·潍坊模拟)若函数f(a)＝ʃ(2＋sinx)dx，则f等于(　　)A．1B．0C．2π＋3＋cos1D．1－cos1解析　∵f(a)＝ʃ(2＋sinx)dx＝(2

7、x－cosx)

8、＝2a－cosa＋1，∴f＝π＋1，∴f＝f(π＋1)＝2(π＋1)－cos(π＋1)＋1＝2π＋cos1＋3.答案　C3．(2010·洛阳质检)若ʃ(2x－3x2)dx＝0，则k等于(　　)A．0B．1C．0或1D．以上均不对解析　ʃ(2x－3x2)dx＝ʃ2xdx－ʃ3x2dx＝x2

9、－x3

10、＝k2－k3＝0，∴k＝0或k＝1.答案　C4．(泉州市2012年3月质量检查)已知，设，则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为.【答案】【解析】5(长春市2012年3月调研题)

11、　　　　.【解析】，等于单位圆面积的，，，考点一定积分的计算【例1】（1）（2）解析（1）（2）规律总结：（1）较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.（2）若被积函数含绝对值，往往化成分段函数分段积分，注意本题中，这实际是一种奏变量的思想，复合函数的积分通常可以奏变量完成，也可以换元完成.变式训练1：（1）（2）解：（1）（2）规律总结：在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般