定积分的简单应用

《定积分的简单应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第五讲　定积分的简单应用[知识梳理]［知识盘点］1．定积分在几何中的应用（1）当有时，由直线和曲线围成的曲边梯形的面积（2）当有时，由直线和曲线围成的曲边梯形的面积（3）当有时，由直线和曲线围成的曲边梯形的面积（4）若是偶函数，则；若是奇函数，则2．定积分在物理中的应用（1）作变功直线运动的物体在时间区间上所经过的路程（2）在恒力的作用下，物体沿力的方向作直线运动，并且由运动到，则力对物体所做的功（3）在恒力的作用下，物体沿与力的方向成角的方向作直线运动，并且由运动到，则力对物体所做的功（4）在变力的作用下，物体沿力的方向作直线运动，并且由运动到，

2、则力对物体所做的功（5）在变力的作用下，物体沿与力的方向成角的方向作直线运动，并且由运动到，则力对物体所做的功［特别提醒］1．研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义，当平面图形的曲边在轴上方时，容易转化为定积分求其面积；当平面图形的一部分在轴下方时，其在轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；2．求含有曲边的平面图形的面积问题时，在平面几何中是很难解决的问题，而定积分为这类问题的求解提供了很好的解决方法，这充分显示了定积分的巨大作用；用心爱心专心3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要结合物理学中的相关内

3、容，将物理意义转化为用定积分解决.[基础闯关]1.已知曲线在轴的下方，则由和所围成的曲边梯形的面积可表示为()A．　　B．　　C．　　　D．2．曲线与坐标轴围成的面积是（　）A.4B.C.3D.23．若与是上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线所围图形的面积()．A．B．C．D．4．由与曲线所围成的图形的面积为（　　　）A．　　　　　B．　　　　C．　　　D．5．一物体以初速度的速度自由下落，则下落后的第二个内所经过的路程为　　　　　　　　。6.曲线与坐标轴所围成的图形的面积是　　　　　　。[典例精析]例1．求抛物线与直线围成的平面图形的面积.［剖

4、析］先求出抛物线与直线的交点，将积分区间确定，再求定积分。［解］由方程组解出抛物线和直线的交点为（2,2）及（8,－4）解法1:选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2在A1部分：由于抛物线的上半支方程为，下半支方程为，所以（）8,-48（）2,2用心爱心专心于是：.解法二:选y作积分变量，将曲线方程写为及.［警示］对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形的特点，选择相应的积分变量以确定积分区间，写出图形面积的积分表达式，再进行求解。［变式训练］：1．求由曲线与围成的平面图形的面积.例2．已知函数在x=1处有极值-2（

5、1）求常数a、b；（2）求曲线y=f(x)与x轴所包围的面积。［剖析］利用待定系数法求出的值，以便于确定函数的解析式，再将y=f(x)与y=0联立，以确定积分区间，利用定积分求平面图形的面积。［解］（1），由f(1)=－2及f′(1)=0得：，解得；（2）由（1）知　　∴当或时，f(x)<0，当或时，f(x)>0，　　∴曲线y=f(x)与x轴所包围的面积：　　.用心爱心专心［警示］要把定积分与利用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可正，也可以为负数或零；而平面图形的面积在一般意义下总是为正，因此当时，要通过绝对值处

6、理成正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后再相加。［变式训练］1．求与直线及轴所围成图形的面积。例3．物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问当两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）［剖析］对速度函数积分即可得物体A所走过的路程，从而根据题意建立方程进行求解。［解］解：设A追上B时,所用的时间为依题意有即，，，=5(s)所以==130(m)因此5秒后两物体相遇，此时物体A走过了130米。［警示］利用定积分解决物理问题

7、，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。［变式训练］3.列车以速度72km/h行驶，当制动时列车获得的加速度，问列车应在进站前多少时候，以及多少距离处开始制动？例4．直径为20cm，高为80cn的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸气，设温度保持不变，要使蒸气的体积缩小为原来的一斗，求需要做多少功？［剖析］对变力F进行定积分即可得变力所作的功。hxFO［解］设上端为活塞，且如图所示取定轴.另设底面面积为，活塞压缩至位置时气体的体积为，压强为，由于（其中为常数），则，，其中故所求的功为用心爱心专

8、心［警示］求变力作功问题，一般利用定积分加以解决，但要注意寻找积分变量与积分区间。［变式训练］4．证明：将质量为m的从地球