定积分的简单应用(6)

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1、§1.7定积分的简单应用（一）一：教学目标　1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。二：教学重难点　　重点曲边梯形面积的求法难点　定积分求体积以及在物理中应用　三：教学过程：定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.ABCDO解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.

2、解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图阴影部分的面积．解方程组得直线与曲线的交点的坐标为（8,4).直线与x轴的交点为（4,0).因此，所求图形的面积为S=S1+S2.例3.求曲线与直线轴所围成的图形面积。答案：练习1、求直线与抛物线所围成的图形面积。答案：2、求由抛物线及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。略解：，切线方程分别为、-5-，则所求图形的面积为3、求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。略解：所求图形的面积为xxOy=x2ABC4、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程.略解：如图由题可设切点坐标为，

3、则切线方程为，切线与轴的交点坐标为，则由题可知有，所以切点坐标与切线方程分别为总结：1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：（1）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））；③由两条曲线与直线yabxyabxyabx所围成的曲边梯形的面积

4、：（如图（3））；图（1）图（2）图（3）（2）型区域：-5-①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积,可由得，然后利用求出（如图（4））；②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（5））；yabxyabxyabx③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用求出（如图（6））；图（4）图（5）图（6）2．求平面曲线的弧长设曲线AB方程为，函数在区间上可导，且连续，则曲线AB的弧长为.3．求旋转体的体积和侧面积由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积为.其侧面积为.四：课堂小结本节课主要学习了利用定积分求一些

5、曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。五：教后反思§1.7定积分的简单应用（二）-5-一：教学目标　1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。二：教学重难点　　重点曲边梯形面积的求法难点　定积分求体积以及在物理中应用　三：教学过程：定积分在物理中应用(1)求变速直

6、线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分，即例4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7一3所示．求汽车在这1min行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知：因此汽车在这1min行驶的路程是：答：汽车在这1min行驶的路程是1350m.（2）．变力作功一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs.探究如果物体在变力F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a

7、与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到例5．如图1·7一4，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F(x）与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即F(x）=kx,其中常数k是比例系数．由变力作功公式，得到-5-答：克服弹力所作的功为.例6．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开