定积分的简单应用(2)

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1、1.7定积分的简单应用课标考纲解读夺冠学习方略1会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.2.理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法;3.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。4会用定积分解决简单的物理问题.1.在定积分几何意义的基础上，会应用定积分解决曲线围成的平面图形的面积；2.了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；3.会用定积分解决简单实际问题，在解决问题的过程中体会定积分的价值；4.求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题基础知识·基本技能名师解题基础知

2、识1求平面图形的面积由定积分的概念知：求曲边梯形的面积由三条直线，轴及一条曲线围成的曲边梯的面积s=。(1)若在[a,b]上>0则(2)若在[a,b]上<0则利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置第四步：计算定积分，求出平面图形面积基础知识2变力作功一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs。如果物体在变力F(x）的作

3、用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a

4、弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比，如果的力能使弹簧伸长，求把弹簧从平衡位置拉长（在弹性限度内）时所做的功。解析：由正比例关系，再结合“如果的力能使弹簧伸长”可以求出具体地函数式，即得到了拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度之间的关系。因此：解：设拉伸弹簧所用的力为，弹簧伸长的长度为，则，由时，，即，得，那么由变力作功公式，得；故把弹簧从平衡位置拉长时所做的功为；点拨：本题的求解有两个步骤，其一是求函数的解析式；其二是求变力所作的功；两个步骤缺一不可，而前一个步骤又是容易忽略的。基础知识3例3.物体A以

5、速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）解析：属于变速直线运动，应该用定积分的物理意义来解。解：设A追上B时,所用的时间为依题意有即=5(s)所以==130(m)基本技能4由两条曲线围成的图形的面积由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积：。则则。即有两条曲线围成的图形的面积等于在x的区间上，上方的曲线函数减去下方的函数，若两曲线的相对位置关系在不同的区间上不一样，需要利

6、用定积分的区间可加性性质分段求解。两条或两条以上曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，确定积分上、下限。基本技能4例4.求由曲线与，，所围成的平面图形的面积。解析：画准函数图象，明确函数图像的相对位置关系。技能拓展：因两曲线的相对位置关系在不同的区间上不一样，需要利用定积分的区间可加性性质分段求解。综合方法·解题能力名师解题综合方法3定积分法求物体变速运动的路程由定积分的物理意义知作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分，

7、即，注意正确求解积分的上下限。路程的微分是速度，速度的积分是路程；速度的微分是加速度，加速度的积分是速度；并能进一步体会微分与积分互逆运算关系。综合方法4方程的思想定积分的运算公式：微积分基本定理知定积分的结果是一个关于的原函数的代数式。若积分上限或下限不确定则定积分的结果便可以看成一个关于以积分上限或下限的未知量为变量的一个函数。综合方法3例5.列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？　　解析：因列车停在车站时，速度为０，故应先求速度的表达式，之后

8、令，求出，再据和应用定积分计算出路程.解：已知列车的速度，列车制动时获得的加速度．设列车由开始制动到经过秒后的速度为，则．　　令得（s）．　　设列车由开始制动到停止时所走过的路程为，则有（m）．　　列车应在到站前50s，离车站500m处开始制动．　　方法点拨：利用定积分由加速度求出物体运动的速度是关键。在本题中两次使用定积分物理意义不同，应细心体会.综合方法