定积分的简单应用(3)

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1、宜春中学数学学科2-2册笫四章定积分的简单应用导学案编号：37编写：丁红平审核：高二数学理科备课组学习目标：1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的基本方法和步骤；学习重点：曲边梯形面积的求法学习难点：能够恰当选择积分变量和确定被积函数学习过程：一、预习导航，要点指津（约3分钟）1、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？2、引例：例1、oxy求曲线与直线轴所围成的图形面积。答案：由定积分的几何意义可得：.

2、例2、求曲线y＝sinx与直线x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积为________．【解析】如图，所求面积为【答案】注意：(1)当f(x)在[a，b]上有正有负时，则平面图形面积S＝．(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，此时曲边梯形的面积等于定积分的相反数．所以在求曲线与直线所围成图形的面积时应先判断曲线在x轴上方还是下方，否则求出的面积是错误的．归纳总结：1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数的图像与轴围成的图形的面积为4,而其定积分

3、为0.2、求曲边梯形面积的方法：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。二、自主探索，独立思考（约10分钟）例1、计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.y=x2Oxy【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。6例2、求直线与抛物线所围成的图形面

4、积。答案：例3、计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图（图1.7一2)，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线与曲线的交点的横坐标，直线与x轴的交点．解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图1.7一2阴影部分的面积．解方程组得直线与曲线的交点的坐标为（8,4).直线与x轴的交点为（4,0).因此，所求图形的面积为S=S1+S2.由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．例4

5、、求由抛物线及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。xyoy=－x2+4x-3略解：，切线方程分别为、，则所求图形的面积为例5、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程.xxOy=x2ABC略解：如图由题可设切点坐标为，则切线方程为，切线与轴的交点坐标为，则由题可知有，所以切点坐标与切线方程分别为三、小组合作探究，议疑解惑（约5分钟）各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑解惑。四、展示你的收获（约8分钟）由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解

6、题方法、知识技巧。（即学习成果）五、重、难、疑点评析（约5分钟）由教师归纳总结点评六、达标检测（约8分钟）1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于(　　)A．(x－x3)dxB．(x－x3)dx6C．(x3－x)dxD．(x－x3)dx答案：B　解析：如图，x轴下方与上方的面积相等．2．由，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为(　　)A．ln2B．ln2－1C．1＋ln2D．2ln2答案：A　解析：所求面积为S＝＝lnx＝ln2．3．如图，阴影部分的面积为(　　)A．9B．C．D．答案：C　解析：由求得两曲线交点为A(－2，－4)，B(1，－1)．结合图形可知阴影部分的面积为

7、S＝[－x2－(x－2)]dx＝(－x2－x＋2)dx＝．4．曲线y＝sinx与直线，以及x轴所围成图形的面积等于________．答案：2　解析：结合图形知所求面积S＝

8、sinx

9、dx＝(－sinx)dx＋sinxdx＝cosx－cosx＝2．5.曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是__________．1．　解析：两曲线方程联立得交点(1,1)，求得两切线方程为