定积分及其简单应用(理

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1、§3.5定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用知识要点梳理1.一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I上的图像是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续曲线。2.以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤:①分割,②近似代替,③求和,④取极限.3.定积分的定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线，用分点将区间[a,b]等分成n个小区间。在每个小区间上任取一点作和式，当n时，上述和式无限趋近某个常数，这个常数叫做函数在区间[a,b]上的定积分。记作:。即=.其中f(x)叫做被积函数

2、，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，b,a分别叫做积分上限和下限，区间[a,b]叫做积分区间。4.定积分的几何意义:表示介于x轴,曲线y=f(x),与直线x=a,x=b之间部分的曲边梯形面积的代数和,在x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号.(如下图（1）、（2）5.微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式):如果f(x)是区间[a,b]上图像连续不断的函数,并且Fˊ(x)=f(x),那么=F(x)

3、=F(b)-F(a).其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。6.定积分的性质:①,(其中k为常数

4、);②;第8页共8页③(其中a

5、=a,x=b围成的曲边梯形面积S=.（如图2-5-6（1）（2）定积分在物理中的应用：（i）变速直线运动的路程:运动速度为V(t),则在t=a到t=b时间内物体的位移为S=.（ii）变力作功:力F是位移s的函数,则在s=a到s=b时间内力所做的功为W=.疑难点、易错点剖析：1.定积分是一个常数。2.用定义求定积分的一般方法是：(1）分割：n等分区间[a,b];(2)近似代替：取点；(3）求和：；(4）取极限：3.利用微积分基本定理(即牛顿-莱布尼兹公式)求定积分，关键是找到满足F’(x)=f(x)的函

6、数F(x),即找被积函数f(x)的原函数F(x),利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出F(x)。4.利用定积分求曲边梯形的面积，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分上、下限。5.几种典型的曲边梯形的计算方法：（1）由三条直线x=a,x=b（a

7、直线x=a,x=b（a

8、(x).解:①=()

9、=.②=++=++=++=③,y=xcosx是一个奇函数,故=0,=.④∵[ln(1+x2)]ˊ=,∴=ln(1+x2)

10、=ln2.锦囊妙计:求定积分最常用的方法当然是牛顿-莱布尼兹公式,但有时不易找到公式中的F(x),此时可用其它的方式间接来求定积分,比如可用定积分的几何意义,或利用函数的奇偶性来求.第8页共8页变式与拓展:①②③答案:①e2+2e-②4③4+考点2.用定积分的几何意义求定积分考例2.用定积分的几何意义求值:①;②思路分析：①根据定积分的几何意义，利用平面几何知

11、识可得面积；②可利用定积分的几何意义及公式一起解决;解:①表示半圆y=的面积,利用平面几何知识可得面积为,∴=.②=,前者被积函数y=(0≤x≤1)恰是一个位于x轴上方的半圆,其面积为,而后者可用公式求得为,故=.锦囊妙计：根据定积分的几何意义，可将一些特殊函数的定积分转化为利用平面几何知识求某些规则图形的面积。举一反三：求定积分：.解：根据定积分的几何意义可知，表示半圆y=在[-1,1]间的部分面积,利用平面几何知识可得面积为+1,∴=+1.考点3定积