重积分及其应用第四节重积分的应用

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1、第四节重积分的应用曲面的面积物理应用11.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性从定积分定义出发建立积分式用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法2已经学过的利用重积分解决的问题1平面区域的面积2曲顶柱体的体积3平面薄片的质量4空间物体的体积5空间物体的质量3例1求物体的体积。解在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为4一曲面面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累

2、设它在D上的投影为d,则而成.(称为面积元素)5故有曲面面积公式即若光滑曲面方程为则有若光滑曲面方程为则有6例2求球面为平面所夹部分的曲面面积。解该曲面可以看成球面落在部分，7例3求圆锥面夹在两圆柱面之间的那部分面积解落在内的那部分面积8例4求球面的面积。解法一球面的面积为上半球面的两倍，由于其在无界，所以取9解法二设球面方程为球面面积元素为利用球坐标方程.10二物理应用1物体的质心设平面有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系对y,x的静矩分别位于为为如果把质点组的质量集中在一点使得质点组对各坐标轴的静矩

3、等于质点组的质量集中在该点后对相同的轴的静矩，那么该点就称为该质点组的质心，因此11如果xoy面薄片D，面密度函数为则在D上任取含有点的面积元素则其对y，x的静矩分别为薄片D对y，x的静矩为薄片D的总质量为12其中A为D的面积得D的形心坐标:质心坐标为13同理可得体密度为的空间物体的质心14则得形心坐标：15例5求位于两圆和的形心.解:利用对称性可知而16例6设面密度函数为求由围成的三角形簿片的质心。解17例7求由所围均匀物体的质心解设物体体密度为由对称性182转动惯量质量为m的质点M对定轴l的转动惯量为其中

4、r为M到轴l的距离，质点组对轴l的转动惯量为各质点的转动惯量的总和，设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处因此物体对z轴的转动惯量:的微元故连续体的转动惯量可用积分计算.对z轴的转动惯量为19类似可得:对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量20如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.分别称为对面的转动惯量。则21例8求由所围的均匀薄片对轴的转动惯量。解22例9求密度为的均匀球体对于球心的一条轴l的转动惯量.解：所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量为取球

5、心坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a，其中为球体的质量.则球体所占空间闭区域23例10求均匀圆柱体对yoz面的转动惯量。解设体密度为243引力量的质点的引力近似地为设物体占有空间有界闭区域Ω，它在点(x,y,z)处的密度为并假定在Ω上连续.在物体内任取一直径很小的闭区域dv(这闭区域的体积也记作dv)，(x,y,z)为这一小块中的一点.把这一小块物体的质量ρdv近似地看作集中在点(x,y,z)处.于是按两质点间的引力公式，可得这一小块物体对位于处单位质25其中为引力元素在三个坐标轴上的分量，G为引力常

6、数.将在Ω上分别积分，即得设有一平面薄片，占有面上的闭区域度为面密则该薄片对质量为m的质点的引力为2627例10求均匀圆柱体对位于在原点处的单位质点的引力解由对称性知28