重积分-三重积分的应用

《重积分-三重积分的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、重积分在几何上的应用3、求空间物体的质量2、求空间立体的体积曲顶柱体任意空间立体4、求平面薄片的质量1、求平面区域的面积1例1求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体（如图）的体积。解设球面通过原点O，球心在z轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与z轴重合，立体所占有的空间闭区域可用不等式表示:Oxyz球面方程为r=2acos，锥面方程为=。2所以Oxyz3柱坐标变换4重积分在物理上的应用1、求物体的质心2、求物体的转动惯量3、求引力公式的推导利用积分的思想：微元法51质心先讨论平面薄片的质心。设在xoy平面有n

2、个质点分别位于(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)处，质量分别为m1、m2、…、mn,由力学知道:My、Mx叫质点系对于坐标轴的静力距。6DxOyyx先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一个部分d，它的质量元素为这个部分d对于x轴以及对于y轴的静力距元素为7以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，可得DxOyyx8如果薄片是均匀的，即当(x,y)为常量时，可得到如下的质心坐标：DxOyyx这时薄片的质心完全由闭区域D的形状决定，这样求得的质心又称为平面薄片的形心。9例6求位于两圆r=2sin和r=4sin

3、之间的均匀薄片的质心(如图)。DD的面积等于这两个圆的面积之差，即A=3。4o2xy10再利用极坐标计算积分D4o2xy1112例7求均匀半球体的重心。解取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上。：x2+y2+z2a2，z0zxyoa13先讨论平面薄片的转动惯量。设在xoy平面有n个质点分别位于(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)处，质量分别为m1、m2、…、mn,由力学知道:Ix、Iy是该质点系对于坐标轴x轴以及y轴的转动惯量。2转动惯量14设有一平面薄片占有平面闭区域D,在点(x,y)处具有连续面密度=

4、(x,y)，下面利用元素法求该平面薄片对两坐标轴的转动惯量。DxOyyx先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一个部分d，它的质量元素为这个部分d对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素为15DxOyyx以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，可得1617例8求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量。解取坐标系如图所示，则薄片所占闭区域D可表示为x2+y2a2，y0；yxa-ao而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix。18xyzoa193引力设有一平面薄片，占有xoy平面上的闭区域D，在点(x,y

5、)处的面密度为(x,y)，假定(x,y)在D上连续。现在要计算该薄片对位于z轴上点M0(0,0,a)(a>0)处的单位质量的质点的引力。P(x,y,0)xyozxyM(0,0,a)20xyozxy(0,0,a)P(x,y,0)2122例10求半径为R的匀质球：x2+y2+z2R2对于位于点M0(0,0,a)(a>R)处的单位质量的质点的引力。zxyoa23zxyoa24由对称性易知Fx=Fy=0zxyoa25分部积分+变量替换26