重积分三重积分的计算

《重积分三重积分的计算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、重积分第三节三重积分的计算方法第三节三重积分的计算法一.在直角坐标系中的计算法化成三次积分仿照二重积分研究其计算方法:在直角坐标系中,用平行于坐标面的平面将积分区域分成n份(大部分是小长方体),可知:体积元素zxyD1.设积分区域的边界曲面与平行于坐标轴的直线相交不多于两点.例如,与平行于z轴的直线相交不多于两点.D为在xoy面上的投影域.上下曲面为:若D是X型域先对z后对y再对x的三次积分同理,可将投影到yoz面或zox面上,使三重积分化成其他顺序的三次积分:2.设积分区域的边界曲面与平行于坐标轴的直线相交多

2、于两点.可以将积分域分成简单子域,利用积分可加性计算.例1计算解其中由三个坐标面及围成将向xoy面作投影,则计算三重积分时也要注意积分次序的选择例2计算其中由及围成4计算过程繁琐能否把极坐标结合到空间坐标系内?柱面坐标系二.在柱面坐标系中的计算法设空间一点M(x,y,z),点M在xoy面上的投影P的极坐标为则称为点M的柱面坐标.zxyMPr变化范围坐标面常数常数常数以z轴为轴的圆柱面过z轴的半平面平行于xoy面的平面与直角坐标的关系体积元素这是因为:如果用三组坐标面划分,大部分子域为小柱体,近似看作长方体,则:

3、化成三次积分前面例2计算其中由及围成4三.在球面坐标系中的计算法设空间一点M(x,y,z)可用下列三个数确定:则称为点M的球面坐标.变化范围与直角坐标的关系(1).点M与原点的距离r;(2).与z轴正向的夹角;(3).在xoy面上的投影向量与z轴的夹角.zxyMPr体积元素这是因为:如果用三组坐标面划分,大部分子域为如图小立体,近似看作长方体,则:化成三次积分坐标面常数常数常数以原点为心的球面过z轴的半平面以原点为顶点,以为半顶角的圆锥面.例3计算其中由围成.例4计算其中由围成.与例5.选择适当的坐标系,将化成

4、三次积分.由半径为a的球面与半顶角为的内接锥面围成a2a注:选择合适的坐标系是计算三重积分的关键(1).区域由平面围成,常选择直角坐标系;一般的:(3).区域由球面锥面围成,被积函数形如常选择球面坐标系.(2).区域由圆柱面围成,被积函数形如常选择柱面坐标系;题型解析