三重积分的计算

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1、第三节　三重积分的计算一、利用直角坐标系计算三重积分三重积分的定义：．三重积分中体积元素可表示为，于是．三重积分的计算是将其化为计算一个定积分和一个二重积分，最终都要转化为计算三次定积分．１、坐标面投影法（先一后二计算法）由上次课的引例知，三重积分可看成为体密度为且占有空间区域的立体的质量．设区域在面上的投影区域为，以的边界为准线作平行于轴的柱面，将分为上下两个曲面，其方程分别为　设它们为上的单值连续函数，且，用垂直于轴和轴的平面将区域分为若干个细长条，对应于小区域高度为的小薄片的质量近似等于，所以细长条的质量用微元法求得为再将其在区域上求二重积分，得到

2、立体的质量为上面公式对于一般情形仍然成立，于是我们有下面结果．当积分区域可以表示为其中为在面上的投影，此时称为－型区域．则有计算公式．进一步，如果是－型区域，即可表示为如下不等式组：则　　由于上面计算公式实际上是先求一个单积分，再求一个二重积分，因此称为先一后二计算法．类似地，积分区域还有－型区域，－型区域，都有类似公式．例如对于－型区域，可表示为则有公式例１　计算三重积分，其中为三个坐标面和平面所围成的闭区域．解　从图上看出，积分区域可以用如下不等式组表示为由上面公式有例２　求由抛物面，平面，，，及所围成的立体的体积．解　从立体图形看出，区域可以用不等

3、式组表示为．１、坐标投影法（截面法或先二后一法）如果将空间区域向轴作投影得一投影区间，且能够表示为：．其中是过点且平行于面的平面截所得的平面区域，就称为型空间区域。当为型空间区域时，对于固定的，我们先在截面上作二重积分，而在区间上变动时，该二重积分是的函数然后将在区间上作定积分可以证明，如果被积函数在上连续，那末所求三重积分就有类似地，空间积分区域还有为型和型的，此时都可以把三重积分按先“二重积分”后“单积分”的步骤来计算，这种方法称为坐标投影法或截面法，习惯上称为“先二后一”积分法．例3计算，其中为椭球体．解将视为型空间区域其中，则这里为平面区域的面积

4、，利用椭圆面积公式，可知于是得如果把本例中的被积函数改为1，则会得到椭球体的体积为例4　计算，其中由，绕轴旋转一周形成的曲面与柱面所围立体解一　用坐标面法．曲线绕轴旋转一周的曲面方程为该曲面与柱面的交线为，在面上的投影区域为：，于是再用极坐标有解二　用坐标轴投影法．，．这里为由和所围圆环小结二重积分的换元积分法三重积分在直角坐标下辖的计算（先二后一法、先一后二法）