二、三重积分的计算.ppt

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1、第九章重积分二重积分的计算三重积分的概念及其计算（1）三重积分的计算（2）二重积分的应用二重积分的概念与性质1一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法第九章2利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域则后积先定限，限内划条线，先交为下限，后交为上限。3若D为Y–型区域则后积先定限，限内划条线，先交为下限，后交为上限。思路：先确定积分次序，然后再确定积分限。4说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复

2、杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则5面积元素利用极坐标系计算二重积分6域边界相交不多于两个交点.r－型区域：穿过区域且r＝常数的圆周与区基本简化区域的定义域边界相交不多于两个交点.－型区域：穿过区域且＝常数的射线与区后积先定限，限内划条线，先交为下限，后交为上限。同样适用：常用！重点掌握7二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征——极点在区域的外部后积先定限，限内划条线，先交为下限，后交为上限。8区域特征—极点在区域的外部（特殊情形）后积先定限，限内划条线，先交为下限，后交为上限。9二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征——极点在区域的边界

3、上后积先定限，限内划条线，先交为下限，后交为上限。10极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征——极点在区域的内部后积先定限，限内划条线，先交为下限，后交为上限。11(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式12第四节三重积分的概念与计算预备知识空间的三个坐标系小结三重积分的概念在直角坐标系下计算三重积分13一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思

4、想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为14定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作15----------的体积〖几何意义〗〖物理意义〗---------的质量----------区间[a,b]的长度----------平面区域D的面积联想的度量概括三重积分的性质与二重积分类似，不再详述。注意16直角坐标系中的坐标平面：y=常数一组平行于XOZ的

5、平面x=常数一组平行于YOZ的平面z=常数一组平行于XOY的平面直角坐标系中的体积元素：dV=dxdydz（1）直角坐标系二、预备知识空间的三个坐标系17Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ直角坐标系中的体积元素：dV=dxdydz18规定：（2）柱坐标系19柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三組坐标曲面分别为圆柱面；半平面；平面．2021如图，柱面坐标系中的体积元素为222.柱坐标系中的坐标：1.平面上的极坐标系+Z轴3.柱坐标与直角坐标的关系：4.柱坐标的取值范围：柱坐标系要点23请观察柱坐标系下的坐标曲面：=常数过Z轴的半平面z=

6、常数平行于XOY面的平面r=常数以Z轴为中心轴的柱面所以在柱坐标下的体积元素是曲立方体，其体积为：几何解释241·球坐标系下的坐标：2·球坐标与直角坐标的关系：3·球坐标的取值范围：几何解释：（3）球坐标系25规定：三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．26球面坐标系中的体积元素为如图，2728球面坐标系中的体积元素为如图，29二重积分的几何意义：二重积分的定义：二重积分的物理意义：平面薄片D的质量知识回顾二、三重积分的概念及其计算方法301.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设

7、连续函数引出下列各计算方法：31投影法（先一后二法）．如图32得33注意Z–型区域34解3536解如图37为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作截面法（先二后一法）Z=C去截．383940解41原式42解如图先对积分，再求上二重积分,4344小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.45选择题:思考题46思考题解答47