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1、§12.3三重积分的计算问题:设f(x,y,z)在Ω上可积,研究三重积分的计算方法研究思路:设法将化为先定积分再二重积分(1)先单后重:(2)先重后单:先二重积分再定积分1º直角坐标系下三重积分的计算方法设Ω在xoy平面上的投影区域为Dxy1、用先单后重方法化三重积分为三次积分若把被积函数f(x,y,z)设想为密度函数,则在Dxy中任取一微元,其坐标为(x,y),则对应的,平行于z轴的,Ω中的细棒质量可以看到:Ω的质量就是Ω中所有这种细棒质量的无限累积,利用微元法有(1)公式(1)称为三重积分的先单后重计算公式所以有()则利用二重积分化为二次积分的方法进一步可将
2、(1)的积分化为三次积分所以有(2)公式(2)将三重积分化为先z,后y,x的三次积分同理对于区域可得以下先单后重公式:(3)对于区域(4)可得以下先单后重公式:根据区域Dxz,Dyz的情况,利用化二重积分为二次积分的方法,再将积分(2),(3)化为三次积分解其中Ω由三个坐标平面及平面x+2y+z=1所界例计算积分Ω往xy平面上的投影区域Dxy如图所示利用先单后重公式(1)解其中Ω由曲面例计算积分所界的立体Ω往xz平面上的投影区域解例计算积分其中Ω由x+y+z=1及三个坐标面所界解例计算积分,其中由于yz,xy关于y是奇函数,Ω关于xz平面对称由于zx关于z是奇函
3、数,Ω关于xy平面对称所以2、用先重后单方法化三重积分为三次积分将Ω往z轴上投影得投影区间：用平面z=z(z[c,d],取定)截Ω得截痕面Dz,则区间[z,z+dz]所对应的薄柱体微元的质量为:可以看到:Ω的质量就是Ω中所有这种薄柱体微元质量的无限累积,利用微元法有从而得到以下先重后单公式其中Dy是y=y[b1,b2]与Ω的截痕区域,[b1,b2]是Ω在y轴上的投影区间类似地有其中Dx是x=x[a,b]与Ω的截痕区域,[a,b]是Ω在x轴上的投影区间解例计算积分,其中Ω是两个球的公共部分由采用先重后单方法计算例计算积分其中Ω为椭球体:解其中同样的方法可得解
4、例设f(z)连续,证明:并计算2º圆柱坐标系下三重积分的计算方法1、圆柱坐标系（1）圆柱坐标系对于空间中的一点M(x,y,z)(设M不在z轴上)将M往xoy平面上投影得点P(x,y,0)引入变量即(1)M点确定一(,,z)与之对应称(,,z)为点M(x,y,z)的圆柱坐标(或柱坐标)式(1)即为直角坐标与圆柱坐标的对应关系式（2）圆柱坐标曲面一族以z轴为中心的圆柱面一族以过z轴的半平面一族以z轴为法向的平面可以看出:三族坐标曲面是两两正交的(垂直),且P=(x,y,z)是某三个坐标曲面的交点（3）圆柱坐标曲线a)b)称为ρ坐标曲线,它是起点在z轴且与z轴
5、垂直的射线c)称为θ坐标曲线,它是圆心在z轴且与z轴垂直的圆它是与z轴平行的直线称为z坐标曲线z坐标曲线ρ坐标曲线2、利用圆柱坐标计算三重积分设f(x,y,z)在Ω上可积,则这里极限值与Ω的划分无关,与的选取无关用圆柱坐标面分割Ω,则再取从而有以下计算公式(2)其中Ω*是Ω的圆柱坐标表示说明:(1)公式(2)的三重积分是关于圆柱坐标系中的变量ρ,θ,z的三重积分,故仍需化为三次积分(2)称为柱面坐标中的体积元素解例与抛物面所界求,其中Ω是球面利用圆柱坐标计算Ω在xoy平面上的投影区域:对取定的解例将三重积分化为直角坐标,柱面坐标的三次积分,其中Ω由,所界(1)(
6、2)解例及平面z=2和z=8所界计算,其中Ω是曲面Ω在z轴上的投影区间:[2,8]用z=z[2,8]截Ω得截痕面其柱面坐标表示为3º球面坐标系下三重积分的计算方法（1）球面坐标系对于空间中的一点P=(x,y,z)P往xy平面上投影得点M(x,y,0)引入量则由于,于是有即(3)P点确定一(r,,)与之对应称(r,,)为点P(x,y,z)的球面坐标式(3)即为直角坐标与球面坐标的对应关系式（2）球面坐标曲面一族以原点为中心的球面一族过z轴的半平面一族以原点为顶点,以z轴为对称轴的圆锥面（3）球面坐标曲线a)b)称为r坐标曲线c)圆心在z轴且与z轴垂直的圆
7、半平面上以原点为圆心的半圆称为坐标曲线以原点为端点的半直线称为坐标曲线坐标曲线r坐标曲线坐标曲线(4)利用球面坐标计算三重积分设f(x,y,z)在Ω上可积,则这里极限值与Ω的划分无关,与的选取无关用球面坐标面分割Ω,则体积元素dV在球面坐标下的表达形式被积表达式为三重积分在球面坐标系下的计算公式(3)其中Ω*是Ω的球面坐标表示例设,其中Ω由所界解例求[0,+)上的连续函数f(t),使它满足解即两边对t求导有又f(0)=0,故知f(t)满足以下初值问题(可分离变量方程)由于由f(0)=0
