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1、三重积分的概念三重积分的计算小结思考题作业(tripleintegral)第四节 三重积分第九章重积分1是空间有界闭区域Ω上的如当各小闭区域直径中的最大值在每个1.三重积分的定义将闭区域Ω任意分成n个小闭区域其中并作和作乘积①②③④有界函数.也表示它的体积.表示第i个小闭区域,上任取一点三重积分一、三重积分的概念(define)2记为函数趋于零时这和的极限总存在,则称此极限为在闭区域Ω上的三重积分.即体积元素三重积分33.三重积分的几何意义(2)设被积函数连续函数一定可积2.三重积分存在性则区域Ω的体积为在Ω上是可积的.的三重积
2、分存在性时,三重积分(existence)(1)占有空间区域体密度函数为的立体的质量为:4二、三重积分的计算1.在直角坐标系下计算三重积分故直角坐标系下的体积元素为在直角坐标系下三重积分可表为在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面的来划分三重积分5设平行于z轴的直线与的边界面至多相交于两个点.(1)设在xoy平面上的投影区域为以的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,把的边界曲面分为上,下两部分:直角坐标系中将三重积分化为三次积分思想是1.投影法(先单后重法)三重积分6三重积分即设在上连续,在上连续,在上连续.7的一元函数,
3、是分布在线段(2)对过作平行于z轴的直线穿过区域则由曲面穿入,穿入点由曲面穿出,穿出点上的质量在竖坐标z处的线密度,从而线段上的质量为:三重积分8(4)把物体质量看成分布在占有平面闭区域的平面薄片上,点处的面密度为则物体的质量为:由于先单后重先对z,次对y,最后对x的三次积分则三重积分9注相交不多于两点情形.则考虑化为先对z,后对xy的累次积分.过程如下:三重积分(1)将投影到xy平面,得区域(2)对作平行于z轴的过直线穿过区域看看由哪个曲面穿入,哪个曲面穿出,从而定出z的上下限.(3)最后再由二重积分的方法将化为二次积分即可.
4、10所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积分(累次积分).和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.解题时,要依据具体的被积函数同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影.三重积分11截面法(先重后单法)解计算三重积分例1原式=三重积分12投影法(先单后重法)计算三重积分三重积分13例2求由旋转抛物面和平面所围成的立体的质量,假设立体上各点处的密度与该点到z轴的距离成正比.三重积分142截面法(红色部分)(先重后单法)截面法的一般步骤(1)投影,得投影区间(2)(3)计算二重积分(4)最后计算单积分三重积分即15即当被积函数仅
5、与变量z有关,截面法的公式还有两个.用上公式简便.希望自己推注且截面Dz易知时,三重积分16例4已知椭球V:内点(x,y,z)处质量的体密度为:求椭球的质量.提示三重积分计算三重积分例317解因为先求三重积分即其中18利用对称性(区域关于x=0对称,被积函数关于x是偶函数),由对等性知因此所以三重积分19(1)如果被积函数是单变量z(或x,y)的函数,并且总结:用z=常数(或x=常数,y=常数)截空间区域得到的截面的面积易求,则考虑把三重积分化为先重(对xy)后单(对z)的累次积分来计算;(2)将三重积分化为三次积分时,一定要先
6、单后重或先重后单,不要直接化为三次积分;(3)充分利用对称性.三重积分20计算三重积分例5解利用轮换对称性:区域的边界面方程中x换成y,y换成z,z换成x,区域的边界面方程不变.则该区域上的三重积分的被积函数中的x换成y的积分与y换成z的积分,z换成x的积分相等.三重积分21从而于是三重积分22例6改变下列积分次序.步骤:1.先画图(先画边界曲面,再围成);2.退三次积分为先单后重或先重后单.yxz三重积分23解:(1)(2)xy三重积分24解两曲面的交线为所以,例7极坐标三重积分25规定直角坐标与柱面坐标的关系为就叫点M的柱面
7、坐标.三重积分2.利用柱面坐标计算三重积分cylindricalcoordinates设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为则这样的三个数26柱面坐标系中,以z轴为中心轴的圆柱面；过z轴的半平面.与xOy平面平行的平面;三坐标面分别为三重积分称点M的柱面坐标27柱面坐标系中的体积元素为在柱面坐标系中,如图,得小柱体即直角坐标系下三重积分与(红色部分).若以三坐标面分割空间区域柱(面)坐标系下三重积分的关系是三重积分28如何计算柱坐标系下三重积分回想直角坐标系下计算三重积分方法.将三重积分化为三次积
8、分(累次积分)三重积分29柱坐标系下三重积分的计算,可得柱坐标系下三重积分化为三次积分与x,y,z等同的看为三个变量.如,极坐标不等式表示只要把被积函数中的的计算公式.类比公式先将Ω在xOy面上的投影域用三重积分30三重积分从而故再确定Ω的下,上边界面31当化三
