三重积分定义计算.ppt

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1、三重积分的概念与计算方法一、三重积分的定义二、三重积分的计算三、小结1一、三重积分的定义2物理意义：设f(x,y,z)表示物体在点（x,y,z)处的体密度，是该物体所占有的空间闭区域，f(x,y,z)在上连续，则该物体的质量3直角坐标系中将三重积分化为三次积分．二、三重积分的计算4x0zyz2(x,y)为图示曲顶柱体I=PNM..积分区域是曲顶柱体Dz1(x,y)计算三重积分5x0zyz2(x,y)I=D积分区域是曲顶柱体为图示曲顶柱体这就化为一个定积分和一个二重积分的运算z1(x,y)计算三重积分.6上边界曲面（

2、上顶）下边界曲面（下底）xoy坐标面上的投影区域7z=0y=0x=00yx：平面x=0,y=0,z=0，x+2y+z=1所围成的区域先画图x0zy11DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1围成1...例1：计算三重积分x+2y+z=1DxyI=80yx1.确定投影区域，找出上顶、下底2.画出投影区域图不画立体图做三重积分Dxy:z=0。。Dxy。例2.？9y2=xxyzo.例2.10y2=xxyzo.例2.11z=0y=0xyzo。。0yxy2=x.D例2.12Dxy:z=00yx11。。Dxy例3.双曲抛物面131

3、x+y=1yozx1z=xy.例3.14z=01x+y=1ozx1yz=xy.例3.1511z=0ozxx+y=1y。。z=xy.例3.16x0zyc1c2zDz计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）截面法先做二重积分，后做定积分17x0zyc1c2.先做二重积分，后做定积分zDz计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）截面法18x0zyc1c2I=.先做二重积分，后做定积分zDz计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）截面法19x0zyc1c2.先做二重积分，后做定积分I=计算三重积分的另一思路（对有的问题适用

4、）截面法20x0yzbc例4计算aD021Dz..bc.=.x0yzD0a.z例4计算22作业习题9-3(400页)(2)(4)2(1)(3)(5)(8)(10).4.6.7.230xzyM(r,,z)zrNxyz(x,y,z)(r,,z)2.利用柱面坐标计算三重积分z=z..24z动点M(r,,z)柱面Sr=常数：平面z=常数：x0yzMrSz柱面坐标的坐标面25动点M(r,,z)半平面P柱面S=常数:r=常数：平面z=常数：zx0yzMrSP柱面坐标的坐标面.26xzy0drrrddz平

5、面z元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；柱面坐标下的体积元素27xzy0drrrddz底面积：rdrd元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；dz平面z+dz柱面坐标下的体积元素.28xzy0drrrddz底面积：rdrd元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；dzdV=.柱面坐标下的体积元素.dV290xzy1Dxy.Dxy:z=11.例1...30

6、解所围成的立体如图，31所围成立体的投影区域如图，320xzyM(r,,)rNyxz...3.利用球面坐标计算三重积分33SrMyzx0r=常数:=常数:球面S动点M(r,,)球面坐标的坐标面34球面坐标的坐标面Cr=常数:=常数:S球面S半平面P动点M(r,,)Myzx0P=常数:锥面C.35rdrdrsinxzy0圆锥面rd球面r圆锥面+d球面r+dr元素区域由六个坐标面围成：drsind球面坐标下的体积元素半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d

7、36rdrdxzy0drd元素区域由六个坐标面围成：rsind球面坐标下的体积元素.半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+dr2sindrddsindrddr2rcos)dVdV=37rR对r:从0R积分,得半径任取球体内一点例30xzy380xzyMrR对:从0积分，.对r:从0R积分,得半径任取球体内一点例339R对:从0积分，扫遍球体.得锥面0xzy对r:从0R积分,得半径任取球体内一点对:从0积分，例3400xzyR.0I=V当f=1,.

8、r:0R:0:0例341球坐标系下确定积分限练习1为全球体2为空心球体3为上半球体4为右半球体5为球体的第一、二卦限部分......42z0xya化为球系下的方程r=2acos.M.r例443补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标