三重积分及其计算课件.ppt

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1、第三节三重积分的概念和计算方法一、三重积分的定义二、直角坐标系下三重积分的计算三、小结1一、三重积分的概念将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，被积函数推广到三元函数，就得到三重积分的定义.2类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为34其中dv称为体积元，其它术语与二重积分相同若极限存在，则称函数可积若函数在闭区域上连续，则一定可积由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的

2、性质三重积分的物理背景以f(x,y,z)为体密度的空间物体的质量特别地，5二、在直角坐标系中的计算法如果我们用三族平面x=常数，y=常数,z=常数,对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体其体积为故在直角坐标系下的体积元素为三重积分可写成和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算具体可分为“先一后二”和“先二后一”。6①先一后二7——也称为“投影穿线法”（先z次y后x）8注意9用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。化三次积分的步骤⑴投影，得平面区域⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点

3、—上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法。10三重积分化为三次积分的过程：得到事实上，11得到事实上，12得到事实上，13其中为三个坐标例1.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面1415例3：求y=0,z=0和x+y+z=1所围成的四面体.解:在xy面上的投影区域为Dxy:0y1x,0x1.沿z轴方向,下方曲面:z=0,上方曲面:z=1xy.y0zx111Dxyx+y=1x+y+z=11617例3：求y=0,z=0和x+y+z=1所围成的四面体.解:在xy面上的投影区域为

4、Dxy:0y1x,0x1.沿z轴方向,下方曲面:z=0,上方曲面:z=1xy.y0zx111Dxyx+y=1x+y+z=118类似,19解20练习：用投影法计算其中由围成。4解21除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法(截面法或切片法)也可将三重积分化成三次积分。先二后一，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分。若f(x,y,z)在上连续，介于两平行平面z=c1,z=c2(c1

5、关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便，就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算。尤其当f(x,y,z)与x,y无关时，2324利用“先二后一”计算.例5.试计算椭球体的体积V.解25例6计算解故2627练习：用截面法计算其中由围成。4解28例8.解:先一后二若先对z积分,由于在xy面上投影区域相对复杂.积分较繁.改为先对y积分.y0zx129沿y轴方向,求在xz面上的投影区域Dxz.消去y,故Dxz:y0zx130想想:如何用先二后一计算？31例9解一解二先一后二将投影到x

6、oy面得D先二后一132三、小结三重积分的定义和计算（计算时将三重积分化为三次积分）在直角坐标系下的体积元素33解作业P106习9-31（1）(2),(3);4;5;7;836