§9.3三重积分及其计算.ppt

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1、将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义.§9.3三重积分及其计算一、三重积分的概念三重积分的物理背景以(x,y,z)为体密度函数的空间物体的质量.首先,将闭区域任意分成n个小闭区域v1,v2,,vn,其中vi表示第i个小闭区域,也表示它的体积,在每个vi上任取一点(i,i,i),作乘积(i,i,i)vi(i=1,2,,n),并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,该和式的极限存在,则称此极限为空间物体的质量M,即当然,在三维空间定义的函数u=f(x,y,z)的“几何”

2、意义是四维空间的“曲面”,我们可以想象,但无论如何也无法画出其“图形”,因此我们不再讨论其几何意义.下面我们给出三重积分的定义:定义:设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数,将闭区域任意分成n个小闭区域v1,v2,,vn,其中vi表示第i个小闭区域,也表示它的体积,在每个vi上任取一点(i,i,i),作乘积f(i,i,i)vi(i=1,2,,n),并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,该和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域上的三重积分,并记为即其中dv称为体积元素,其它术语与二重积分相同.

3、同样有:闭区域上的连续函数一定可积.在直角坐标系中,如果我们用三族(平行于坐标的)平面x=常数,y=常数,z=常数,对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体.其体积元素为:dv=dxdydz.三重积分可写成:由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质,不再叙述.二、三重积分在直角坐标系中的计算法与二重积分类似,三重积分可化成三次积行计算.具体可分为先单后重和先重后单两种类型.(x,y)z=z1(x,y)z=z2(x,y)①先单后重:设闭区域在xoy面的投影为闭区域Dxy.在闭区域Dxy内任取一点(x,y),作垂直于xoy面的直线穿过闭区域.穿入时的下边界曲

4、面方程:z=z1(x,y)穿出时的上边界曲面方程:z=z2(x,y)先将x,y看作定值,f(x,y,z)看作z的函数,则积分为闭区域Dxy上的函数,可以理解为压缩在平面薄片Dxy上的密度函数.——也称为先一后二，（先z次y后x）注意用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。化三次积分的步骤⑴投影，得平面区域⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法oxyzDxy例1:将三重积分化成三次积分,其中为长方体,各边界面平行于坐标面.解:将投影到xoy面得Dxy,它是一个矩形:cyd,axb,在Dxy内任取一点

5、(x,y)作平行于z轴的直线,交边界曲面于两点,其竖坐标为l和m(l

6、=c1,z=c2(c1

7、z=0和z=1之间,D(z):x2+y2z.解二:先单后重.将投影到xoy面得投影区域:Dxy:x2+y21.平行于z轴的直线穿过的下曲面为z=x2+y2,上曲面为z=1,因此有x2+y2z1.(用极坐标,用对称性)所以,所以,此例介绍的是一种计算三重积分的方法,这种方法也具有一定的普遍性,这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法.三、在柱坐标系下的计算法设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xoy面上的投影P的极坐标为r,,则这样的三个数r,,z就叫点M的柱面坐标.规定:0r<+,02,–