D9.3三重积分.ppt

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1、第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分第九章一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,积和式”极限记作二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2

2、.截面法(“先二后一”)“一”为定积分；“二”即二重积分.方法3.三次积分法方法1.投影法(“先一后二”)记作方法2.截面法(“先二后一”)记作其中为三个坐标例1.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面化三重积分为三次积分，其中积分区域为由曲面及所围成的闭区域.例2.解:由得交线投影区域：故化三重积分为三次积分，例3.解:所围成的闭区域.其中积分区域为由曲面,,原式积分域为例4.计算三重积分解:用“先二后一”例5.计算积分所围成.其中由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“先一后二积分”较好.所围,故可表示为解:2.利用柱坐标计算三重积

3、分就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.例6.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=其中为由例7.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.解:在柱面坐标系下,其中为由抛物面所围成的立体.球面例8.计算三重积分3.利用球坐标计算三重积分就称为点M的球坐标.直角坐标与球坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面如图所示,在球坐标系中体积元素为因此

4、有其中适用范围:1)积分域表面用球坐标表示时方程简单;2)被积函数用球坐标表示时变量互相分离.例9.计算三重积分解:在球坐标系下所围立体.其中与球面例10.求曲面所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xoz例11.计算三重积分解法1.在球面坐标系下其中所围立体.与平面法2.在柱面坐标下内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行

5、列式为变量可分离.围成;1.将用三次积分表示,其中由所提示:六个平面围成,思考与练习2.设计算提示:利用对称性原式=奇函数3.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标作业P备用题其中解:利用对称性