《重积分三重积分》PPT课件

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1、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的题型和分值分布二重积分三重积分第一类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第二类曲面积分总和2012104142011114152010441018200944410222008941320074410182006412143020051215272004441220第九章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分二、二重积分的性质第一节一、二重积分的定义与可积性三、二重积分的应用机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质第九章曲顶柱体体积:平面薄板的质量:一定义如果在D上可积,机动目录上页下页返回结束

2、二、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则机动目录上页下页返回结束特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有机动目录上页下页返回结束7.(二重积分的中值定理)在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使连续,机动目录上页下页返回结束8.二重积分的对称性定理（1）如果积分区域D关于x轴对称，f(x,y)为y的奇偶函数，则(2)如果积分区域D关于y轴对称，f(x,y)为x的奇偶函数，(3)轮换对称性：（4）如果积分区域D关于直线y=x对称，则(5)如果积分区域D关于原点对称，关于原点对称的两部分为真题研讨例1.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然

3、,机动目录上页下页返回结束例2设D是平面上以（1,1),（-1,1）,（-1，-1）为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法第九章一、利用直角坐标计算二重积分若D为X–型区域则若D为Y–型区域则机动目录上页下页返回结束说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则机动目录上页下页返回结束设则特别,对机动目录上页下

4、页返回结束若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束第三节一、三重积分的概念和性质二、三重积分的计算机动目录上页下页返回结束三重积分第九章定义.设称为体积元素,在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,记作机动目录上页下页返回结束对称性的应用关于yoz面对称，若区域关于原点对称，且f(x,y,z)关于(x,y,z)是奇函数，则二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后

5、二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:机动目录上页下页返回结束方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度≈记作机动目录上页下页返回结束方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作机动目录上页下页返回结束投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:机动目录上页下页返回结束2.利用柱坐标计算三重积分就称为点M的柱坐标.直角坐标

6、与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动目录上页下页返回结束如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.机动目录上页下页返回结束3.利用球坐标计算三重积分就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面机动目录上页下页返回结束如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.机动目录上页下页返回结束考研真题研讨三重积分的计算更要关注利用球坐标或柱面坐标

7、的计算，在第二类曲面积分中，常常利用高斯公式来解决问题，而高斯公式的应用很多时候都用球坐标或者柱面坐标来计算。例3.计算三重积分解:用“先二后一”机动目录上页下页返回结束其中为由例4.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动目录上页下页返回结束例5.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=机动目录上页下页返回结束例6.设计算提示:利用对称性原式=奇函数机动目录上页下页返回结束例7.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标机动目录上页下页返回结束第三节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的

8、转动惯量机动目录上页下页返回结束重积分的应用第九章一、立体体积曲顶