三重积分例题分析.ppt

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1、三重积分的计算问题:设f(x,y,z)在Ω,研究三重积分的计算方法研究思路:设法将化为先定积分再二重积分(1)先单后重:(2)先重后单:先二重积分再定积分zxyx+y+z=10例1.计算其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.解：D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1xy例2.计算其中是由抛物柱面及平面y=0,z=0,解：D:0≤y≤,0≤x≤yxz0D0yx例3.将化为三次定积分，其中是由z=x2+y2和z=1所围的闭区域.解：先对z积分，将向xy平面投影.z=x2+y2x2+y2=1D:x2+y2≤1z=1z=1xyz01

2、Dxyz=1z=x2+y2xyz01Dxyz=1z=x2+y2解2：先对y积分，将向xz平面投影：z=x2+y2Dxy:x2≤z≤1,z=11≤x≤1z=x2+y2xyz0Dxz11例4.计算其中是由z=x2+y2和z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：D(z):x2+y2≤zz[0,1]例5.计算解：D(x):0≤y≤1–x,0≤z≤1xyzxy0111x:0≤x≤1其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.D(x)z=1xyxy01x1x例6.计算其中由与z=1所围闭区域.解：D:x2+y2≤1z=1z=

3、rz=0xyz0Dz=rz=1xyz0z=rz=11D例7.计算={(x,y,z)

4、x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：D:x2+y2≤1xyz01得到解例8.于是，与球面例9.计算其中,是由锥面所围成的区域.解:积分区域如图所示.则锥面方程变为球面方程变为r=a,区域变为＊yxzO运用球面坐标计算,令故(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)y14x+y=4x=0xzo.例10.y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分例10.4x+y=4y=0xyz.D..o1例10.666x+y+z=63x+y=62.例11.x0zy：平面y=0

5、,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.x0zy：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy42：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy42：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域z=0y=042x+y+z=6.x0zy666：平面y=0,z=0，3x+y=6

6、,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域42.x0zy666：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域.D0yx624D.y2=xxyzo例12.y2=xxyzoz=0y=0xyzo。。0yxy2=xD例13由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域；xyzOzx22y22z2x211Oxyz2zx22y2z2x2例13由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域；解其中Ω由曲面例14计算积分所界的立体Ω往xz平面上的投影区域解例15计算积分,其中Ω是两个球的公共部分由采用先重后单

7、方法计算例16设,其中Ω由所界解例17.解:由对称性,所求体积yzxoDxyoa2aD运用极坐标系,则D变成D*:式中故