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时间:2018-11-08
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1、三重积分的计算方法:三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看:如果先做定积分,再做二重积分,就是“投影法”,也即“先一后二”。步骤为:找及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定z的积分限,完成了“先一”这一步(定积分);进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分,完成“后二”这一步。如果先做二重积分再做定积分,就是“截面法”,也即“先二后一”。步骤为:确定位于平面之间,即,过z作平行于xoy面的平面截,截面。区域的边界曲面都是z的函数。
2、计算区域上的二重积分,完成了“先二”这一步(二重积分);进而计算定积分,完成“后一”这一步。当被积函数f(z)仅为z的函数(与x,y无关),且的面积容易求出时,“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算,还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑:将积分区域投影到xoy面,得投影区域D(平面)(1)D是X型或Y型,可选择直角坐标系计算(当的边界曲面中有较多的平面时,常用直角坐标系计算)(2)D是圆域(或其部分),且被积函数形如时,可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时,常用柱面坐标计算)(3)是球
3、体或球顶锥体,且被积函数形如时,可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结:1.对三重积分,采用“投影法”还是“截面法”,要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地,投影法(先一后二):较直观易掌握;截面法(先二后一):是在z处的截面,其边界曲线方程易写错,故较难一些。特殊地,对积分时,f(x,y,z)与x,y无关,可直接计算。因而中只要,且f(x,y,z)仅含z时,选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取,当为柱体,锥体
4、,或由柱面,锥面,旋转抛物面与其它曲面所围成的形体;被积函数为仅含z或时,可考虑用柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题:补例1:计算三重积分,其中为平面与三个坐标面围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”X型D:∴:3.计算解2“截面法”1.画出。2.过点z作垂直于z轴的平面截得。是两直角边为x,y的直角三角形,3.计算补例2:计算,其中是和z=1围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D.由消去z,得即D:2.“穿线”,X型D:∴3.计算注:可用柱坐标计算。解2“
5、截面法”1.画出。2.过点z作垂直于z轴的平面截得::用柱坐标计算3.计算补例3:化三重积分为三次积分,其中:所围成的闭区域。解:1.画出及在xoy面上的投影域D.由消去z,得即D:2.“穿线”X型D::3.计算注:当为已知的解析式时可用柱坐标计算。补例4:计算,其中为所围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D,用柱坐标计算由化的边界曲面方程为:z=6-r2,z=r2.解∴D:即“穿线”∴3.计算。解2“截面法”1.画出。如图:由围成。2.由z=r与z=2围成;,::由z=2与z=围成;,::
6、3.计算=注:被积函数z是柱坐标中的第三个变量,不能用第二个坐标r代换。补例5:计算,其中由不等式,所确定。解:用球坐标计算。由得的边界曲面的球坐标方程:P,连结OP=,其与z轴正向的夹角为,OP=。P在xoy面的投影为,连结,其与x轴正向的夹角为。∴:,,==三重积分的计算方法练习1.计算,其中是旋转面与平面z=2,z=8所围成的闭区域。2.计算,其中是锥面与球面所围成的闭区域。为了检测三重积分计算的掌握情况,请同学们按照例题的格式,独立完成以上的练习,答案后续。
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