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《三重积分的计算方法与例题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：z2如果先做定积分f(x,y,z)dz，再做二重积分F(x,y)d，就是“投z1D影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。z2f(x,y,z)dv[f(x,y,z)dz]dDz1c2如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分F(z)dz
2、，就是“截面Dzc1法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面zc1与zc2之间，即z[c1,c2]，过z作平行于xoy面的平面截，截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分f(x,y,z)d，完成Dzc2了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分F(z)dz，完成“后c1c2一”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)d]dzc1Dz当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且Dz的面积(z)容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的
3、问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)（1）D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲..面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如f(x2y2),f(y)时，x可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2y2z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1.对三重积分，采用“投影法”还是
4、“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：Dz是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算SDz。因而中只要z[a,b],且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2y2)时，可考虑用柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分Izdxdy
5、dz，其中为平面xyz1与三个坐标面x0,y0,z0围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”0z1xy..X型0x1D：y1x00x1∴：0y1x0z1xy3.计算11x1xy11x1111Izdxdydzdxdyzdzdx(1xy)2dy[(1x)2y(1x)y2y3]10xdx00000220311(1x)3dx1[x3x2x31x4]1016062424解2“截面法”1.画出。2.z[0,1]过点z作垂直于z轴的平面截得Dz。Dz是两直角边为x,y的直角三角形，x1z,y1z3.
6、计算111Izdxdydz[zdxdy]dzz[dxdy]dzzSDzdz100Dz0Dz0z(1xy)dz1z11(1z)(1z)dz1(z2z2z3)dz12022024补例2：计算x2y2dv，其中是x2y2z2和z=1围成的闭区域。解1“投影法”画出及在面投影域zx22y2xoyD.由z1消去z，1.得x2y21即D：x2y212.“穿线”x2y2z1，..X型D：1x11x2y1x21x1∴:1x2y1x2x2y2z13.计算x2y2dv11x1x2y2dz11x2x2y2(1x2y2)dydxdydx
7、11x2x2y211x26注：可用柱坐标计算。解2“截面法”1.画出。2.z[0,1]过点z作垂直于z轴的平面截得Dz：x2y2z2Dz：020rz02用柱坐标计算:0rz0z13.计算112z1[1r3]0zdz21x2y2dv[x2y2dxdy]dz[dr2dr]dz2z3dz0Dz00003306补例3：化三重积分If(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中：zx22y2及z2x2所围成的闭区域。解：1.画出及在xoy面上的投影域D.zx22y2由z2x2消去z，得x2y21即D：x2y21..2.“穿线”
8、x22y2z2x21x1X型D：1x2y1x21x1：1x2y1x2x22y2z2x211x22x23．计算If(x,y,z)dxdydzdxdyf(x,y,z)dz11x2x22y2注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。补例4：计算zdv，其中为z6x2y2及zx2y2所围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D，用柱坐标计算
