三重积分的计算方法及经典例题

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1、三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：z2如果先做定积分f(x,y,z)dz，再做二重积分F(x,y)d，就是“投影z1D法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”z2这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)dz]dDz1c2如果先做二重积分f(x,y

2、,z)d再做定积分F(z)dz，就是“截面法”，Dzc1也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面zc与zc之间，即z[c,c]，1212过z作平行于xoy面的平面截，截面D。区域D的边界曲面都是z的zz函数。计算区域D上的二重积分f(x,y,z)d，完成了“先二”这一步（二zDzc2重积分）；进而计算定积分F(z)dz，完成“后一”这一步。c1c2f(x,y,z)dv[f(x,y,z)d]dzc1Dz当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且D的面积(z)容z易求出时

3、，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)（1）D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）22y（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如f(xy),f()时，可x选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）222是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(xyz)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投

4、影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：D是在z处的截面，其边界曲线方程易z写错，故较难一些。特殊地，对D积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算S。因而中只zDz要z[a,b],且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面22所围成的形体；被积函数为仅含z

5、或zf(xy)时，可考虑用柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分Izdxdydz，其中为平面xyz1与三个坐标面x0,y0,z0围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”0z1xy0x1X型D：0y1x0x1∴：0y1x0z1xy3.计算11x1xy11x112122131xIzdxdydzdxdyzdzdx(1xy)dy[(1x)y(1x)yy]dx02

6、2300000011313231411(1x)dx[xxxx]06624240解2“截面法”1.画出。2.z[0,1]过点z作垂直于z轴的平面截得D。zD是两直角边为x,y的直角三角形，x1z,y1zz3.计算111Izdxdydz[zdxdy]dzz[dxdy]dzzSdzDz0Dz0Dz0111111231z(xy)dzz(1z)(1z)dz(z2zz)dz2222400022222补例2：计算xydv，其中是xy

7、z和z=1围成的闭区域。解1“投影法”22zx2y1.画出及在xoy面投影域D.由z1消去z，2222得xy1即D：xy1222.“穿线”xyz1，1x1X型D：221xy1x1x122∴:1xy1x22xyz13.计算211x111x22222222xydvdxdyxydzdxxy(1xy)dy611x2x2y211x2注：可用柱坐标计算。解2“截面法”2221.画出

8、。2.z[0,1]过点z作垂直于z轴的平面截得D：xyzz02Dz：0rz02用柱坐标计算:0rz0z13.计算112z112222213z23xydv[xydxdy]dz[drdr]dz2[r]dzzdz03360Dz00000补例3：化三重积分I