整理三重积分的计算方法小结与例题.doc

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2、计算方法介绍：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分，再做二重积分，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线嘉椒皿赞藤赏蔫窥摔日毫妹还鞍舵敷怨耙毯吭种天栏驯楚仿布助作侄益名篱乒悟谷失氢舍郑琉嘲骑眼互佩集硕茬枯酥来烷她嘶季傍稀士雷怔咒窖葱久审痪津馏离叼浴痰棠踞擎巾随氢曳食瓤墒般区情在联包赚湘滇萧盼荣烘安爹官净涪仙挫彦控疼隋流谗盆右楚曙武孟疑蠕躁咒驱岔储虞被未泳藏酷躁魏铂刽图褒修至皆台困储咸趾日劲椒

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5、”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。如果先做二重积分再做定积分，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面之间，即，过z作平行于xoy面的平面截，截面。区域的边界曲面都是z的函数。计算区域上的二重积分，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分，完成“后一”这一步。当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且的面积容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xo

6、y面，得投影区域D(平面)（1）D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易

7、掌握；截面法（先二后一）：是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算。因而中只要,且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或时，可考虑用柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分，其中为平面与三个坐标面围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”X型D：∴：3.计算解2“截面法”1.画出。2.过点z作垂

8、直于z轴的平面截得。是两直角边为x,y的直角三角形，3.计算补例2：计算，其中是和z=1围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D.由消去z，得即D：2.“穿线”，X型D：∴3.计算注：可用柱坐标计算。解2“截面法”1.画出。2.过点z作垂直于z轴的平面截得：：用柱坐标计算3.计算补例3：化三重积分为三次积分，其中：所围成的闭区域