[理学]93三重积分及其计算

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1、§9.3三重积分及其计算一、三重积分的概念定义其中dv称为体积元，其它术语与二重积分相同若极限存在，则称函数可积若函数在闭区域上连续，则一定可积由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质三重积分的物理背景二、三重积分的计算如果我们用三族平面x=常数，y=常数,z=常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体其体积为故在直角坐标系下的面积元为三重积分可写成和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算具体可分为先单后重和先重后单1.利用直角坐标计算三重积分①先单后重——也称为先一后二，（先z次y后x）注意用完全类似的方

2、法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。化三次积分的步骤⑴投影，得平面区域⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法oxyzDxy例1:将三重积分化成三次积分,其中为长方体,各边界面平行于坐标面.解:将投影到xoy面得Dxy:cyd,axb,abcd(x,y)ml例2:计算平面x+y+z=1所围成的区域.Dxyxyzo其中是三个坐标面与解:画出在xoy面上的投影区域Dxy:0y1–x,0x1,x+y+z=1x+y=1解Dxy：除了上面介绍的先单后重法外，利用先

3、重后单法也可计算三重积分先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分若f(x,y,z)在上连续介于两平行平面z=c1,z=c2(c1

4、性，这就是我们将要介绍的柱面坐标系下的计算法2、在柱坐标系下的计算法设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xoy面上的投影P的极坐标为r,,则这样的三个数r,,z就叫点M的柱面坐标.规定:0r<+,02,–

5、y0drrrddz平面z柱面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面;平面z及z+dz;xzy0drrrddz底面积:rdrddz平面z+dz.柱面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面;平面z及z+dz;xzy0drrrddz底面积:rdrddz.dv柱面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面;平面z及z+dz;所以:dv=rdrddz.所以然后再把它化为

6、三次积分来计算.积分次序一般是先z次r后.积分限是根据z,r,在积分区域中的变化范围来确定.例1解将投到xoy面得Dxy：注若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。例2注意到解3.利用球面坐标计算三重积分球面圆锥面半平面规定如图，球面坐标系中的体积元素为然后把它化成对的三次积分具体计算时需要将用球坐标系下的不等式组表示积分次序通常是解一用球坐标解二用柱坐标解注若积分区域为球体、球壳或其一部分被积函数呈而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单通常采用球坐标。补充：利用对称性简化

7、三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．①关于xoy面对称②关于xoz面对称③关于yoz面对称练习题1计算围成的闭区域.yxoy=xx练习题3求由抛物柱面2y2=x,平面和z=0所围成的立体的体积.练习题2交换积分顺序求抛物面和锥面所围成立体的体积.练习题4练习题5化二重积分为二次积分：(1)D由围成;(2)D:作业P1061(2),(3),(4);2;4;5;7;8;9(2);10(2);11(1),(4)12(1),(4)