三重积分概念及其计算.doc

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1、§5三重积分教学目的掌握三重积分的定义和性质.教学内容三重积分的定义和性质;三重积分的积分换元法;柱面坐标变换;球面坐标变换.基本要求掌握三重积分的定义和性质,熟练掌握化三重积分为累次积分,及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法.教学建议(1)要求学生必须掌握三重积分的定义和性质,知道有界闭区域上的连续函数必可积.由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似,可作扼要叙述与比较.(2)对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题.一、三重积分的概念背景:求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时,通过“分割、近似,求和、取

2、极限”的步骤,利用求柱体的质量方法来得到结果.一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法,从而归结出下面一类积分的定义.定义1设是定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数,是一个确定的数,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于的任何分割,当它的细度时,属于的所有积分和都有,则称在上可积,数称为函数在上的三重积分,记作=,其中称为三重积分的被积函数,称为积分变量,称为积分区域.可积函数类(ⅰ)有界闭区域上的连续函数必可积.(ⅱ)有界闭区域上的有界函数的间断点集中在有限多个零体积的曲面上,则必在上可积.二、化三重积分为累次积

3、分定理21.15若函数在长方体=上的三重积分存在,且对任何,二重积分=存在,其中=,则积分也存在,且=.(1)为了方便有时也可采用其他的计算顺序.若简单区域由集合所确定,在平面上的投影区域为=是一个型区域,设在上连续,,在上连续,,上连续,则==,其他简单区域类似.一般区域上的三重积分,常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算.例1计算,其中为由平面,所围的区域.例2求,其中为.例3改变下列累次积分顺序三、三重积分换元法设变换:,,把空间中的区域一对一地映成空间中的区域,并设函数,,及它的偏导数在区域内连续且行列式

4、=0,,则=,(4)其中在上可积.(一)、柱面坐标变换:如下图所示变换:,==,按(4)式=,这里为在柱面坐标变换下的原象.在柱面坐标中:=常数,是以轴为中心轴的圆柱面;=常数,是过轴的半平面;=常数,是垂直于轴的平面.若在平面上的投影区域,即=时=,其中二重积分部分应用极坐标计算.例4计算,其中是由曲面与为界面的区域.例5计算由和抛物面围成。例6计算由和围成。(二)、球坐标变换变换:,==,变换公式为:=在球面坐标中:=常数,是以原点为中心的球面=常数,是过轴的半平面.=常数,是以原点为顶点,以轴为中心轴的圆锥面.当时

5、,=.例7求由圆锥体和球体所确定的立体体积,其中和为常数.解球面方程在球坐标系下表示为,圆锥面在球坐标系下表示为,==.例8计算:例9求=,其中为由与所围区域.

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