三重积分概念及其计算.doc

《三重积分概念及其计算.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§5三重积分教学目的掌握三重积分的定义和性质．教学内容三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换．基本要求掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法．教学建议(1)要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较．(2)对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题．一、三重积分的概念背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取

2、极限”的步骤，利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．定义1设是定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度时，属于的所有积分和都有,则称在上可积，数称为函数在上的三重积分，记作=，其中称为三重积分的被积函数，称为积分变量，称为积分区域．可积函数类（ⅰ）有界闭区域上的连续函数必可积.（ⅱ）有界闭区域上的有界函数的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则必在上可积.二、化三重积分为累次积

3、分定理21.15若函数在长方体=上的三重积分存在，且对任何，二重积分=存在，其中=，则积分也存在，且=.(1)为了方便有时也可采用其他的计算顺序．若简单区域由集合所确定，在平面上的投影区域为=是一个型区域，设在上连续，，在上连续，，上连续，则==，其他简单区域类似．一般区域上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算．例1计算，其中为由平面,所围的区域.例2求，其中为.例3改变下列累次积分顺序三、三重积分换元法设变换：，，把空间中的区域一对一地映成空间中的区域，并设函数，，及它的偏导数在区域内连续且行列式

4、=0,,则=，（4）其中在上可积．（一）、柱面坐标变换：如下图所示变换：，==，按（4）式=，这里为在柱面坐标变换下的原象．在柱面坐标中：=常数，是以轴为中心轴的圆柱面；=常数，是过轴的半平面；=常数，是垂直于轴的平面．若在平面上的投影区域，即=时=，其中二重积分部分应用极坐标计算．例4计算，其中是由曲面与为界面的区域．例5计算由和抛物面围成。例6计算由和围成。（二）、球坐标变换变换：，==，变换公式为：=在球面坐标中：=常数，是以原点为中心的球面=常数，是过轴的半平面．=常数，是以原点为顶点，以轴为中心轴的圆锥面．当时

5、,=.例7求由圆锥体和球体所确定的立体体积，其中和为常数．解球面方程在球坐标系下表示为，圆锥面在球坐标系下表示为，==.例8计算：例9求=，其中为由与所围区域．