三重积分及其计算课件.ppt

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1、三重积分及其计算一、三重积分的概念将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域，被积函数推广到三元函数，就得到三重积分的定义其中dv称为体积元，其它术语与二重积分相同若极限存在，则称函数可积若函数在闭区域上连续，则一定可积由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质三重积分的物理背景以f(x,y,z)为体密度的空间物体的质量下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法。二、在直角坐标系中的计算法如果我们用三族平面x=常数，y=常数,z=常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体其体积为故在直角坐标系下的面积元为三重积分可写成和二重积分类似，三重积分可化成三次积

2、分进行计算具体可分为先单后重和先重后单①先单后重——也称为先一后二，切条法（先z次y后x）注意用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。化三次积分的步骤⑴投影，得平面区域⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法例1将化成三次积分其中为长方体，各边界面平行于坐标面解将投影到xoy面得D，它是一个矩形在D内任意固定一点（x,y)作平行于z轴的直线交边界曲面于两点，其竖坐标为l和m（l

3、后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分若f(x,y,z)在上连续介于两平行平面z=c1,z=c2(c1

4、们将要介绍的柱坐标系下的计算法在柱坐标系和球坐标系下的计算一、在柱坐标系下的计算法规定：圆柱面半平面平面如图，柱面坐标系中的体积元然后再把它化为三次积分来计算积分次序一般是先z次r后积分限是根据在积分区域中的变化范围来确定例1解将投到xoy面得D注若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。例2解关键在于定出的变化范围的范围容易定出z呢？注意到二、在球坐标系下的计算法规定球面圆锥面半平面如图，球面坐标系中的体积元素为然后把它化成对的三次积分具体计算时需要将用球坐标系下的不等式组表示积分次序通常是解一用球坐标解二用柱坐标解注若积分

5、区域为球体、球壳或其一部分被积函数呈而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单通常采用球坐标。补充：利用对称性简化三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．“你对称，我奇偶”①关于xoy面对称②关于xoz面对称③关于yoz面对称三、小结三重积分换元法柱面坐标球面坐标（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算思考题