高数下9.3三重积分及其计算教程文件.ppt

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1、高数下9.3三重积分及其计算定义:设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数,将闭区域任意分成n个小闭区域v1,v2,,vn,其中vi表示第i个小闭区域,也表示它的体积,在每个vi上任取一点(i,i,i),作乘积f(i,i,i)vi(i=1,2,,n),并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,该和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域上的三重积分,并记为即其中dv称为体积元素,其它术语与二重积分相同.同样有:闭区域上的连续函数一定可积.在直角坐标系中,

2、如果我们用三族(平行于坐标的)平面x=常数,y=常数,z=常数,对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体.其体积元素为:dv=dxdydz.三重积分可写成:由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质,不再叙述.二、三重积分在直角坐标系中的计算法与二重积分类似,三重积分可化成三次积行计算.具体可分为先单后重和先重后单两种类型.(x,y)z=z1(x,y)z=z2(x,y)①先单后重:设闭区域在xoy面的投影为闭区域Dxy.在闭区域Dxy内任取一点(x,y),作垂直于xoy面的直线穿过闭区域.穿入时的下边界曲面方

3、程:z=z1(x,y)穿出时的上边界曲面方程:z=z2(x,y)先将x,y看作定值,f(x,y,z)看作z的函数,则积分为闭区域Dxy上的函数,可以理解为压缩在平面薄片Dxy上的密度函数.(x,y)z=z1(x,y)z=z2(x,y)y=y1(x)y=y2(x)ab由三重积分的物理意义,若将f(x,y,z)理解为闭区域上的体密度函数,那么三重积分表示空间物体的质量M.则函数F(x,y)可以理解为压缩在平面薄片Dxy上的密度函数.则质量M等于F(x,y)在平面薄片Dxy上二重积分:即下面只需将二重积分化成二次积分:不妨设D

4、xy为X—区域:y1(x)yy1(x),axb.则此方法也称为先一后二,或切条法(先z次y后x,或先z次x后y)注意:这是用平行于z轴(或垂直于xoy平面)且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面相交不多于两点情形.用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分.化三重积分为三次积分的步骤:⑴投影:得平面区域;⑵穿越法定限:穿入点—下限,穿出点—上限.对于二重积分化为累次积分的方法,已经介绍过.oxyzDxy例1:将三重积分化成三次积分,其中为长方体,各边界面平行于坐标面.解:将投影到xoy面得Dxy,

5、它是一个矩形:cyd,axb,在Dxy内任取一点(x,y)作平行于z轴的直线,交边界曲面于两点,其竖坐标为l和m(l

6、三次积分,在xoy面上的投影区域Dxy:x2y1,–1x1,平行于z轴的直线穿过的下曲面为z=0,上曲面为z=x2+y2,有0zx2+y2.例4:将三次积分化为按y,z,x的次序积分.解:由所给积分次序可得:0zx2+y2,0y1,0x1.即在xoy面上得投影为方形区域,0y1,0x1.平行于z轴的直线穿过的下曲面为z=0,上曲面为z=x2+y2,有0zx2+y2.由题意要求,需要先对y积分,则应作平行于y轴的直线穿过,为此,需作一母线平行于y轴的柱面z=x2,将积分区域分为两

7、部分(见图)1,2.1,2在xoz面上的投影区域D1,D2分别为:D1:0zx2,0x1;D2:x2zx2+1,0x1.xoz关于y的变化范围:在D1上:0y1;在D2上:所以,除了上面介绍的先单后重法(切条法)外,利用先重后单法或称截面法也可将三重积分化成三次积分.先重后单,就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分.②先重后单:D(z)xyzoc1c2设积分区域介于两平行平面z=c1,z=c2(c1

8、c2.则易见,若二重积分容易计算时,特别是被积函数f(x,y,z)与x,y无关时,则二重积分的结果就是D(z)的面积,因此,用截面法较为方便.即得三重积分值.(4)最后计算单积分(3)计算二重积分的函数F(z);其结果为z截面法的一般步骤:(1)把积分区域向某轴(例如z轴)投影,得投影区