同济大学 高数 三重积分.ppt

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1、第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分第十章一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:下列“乘积和式”极限记作(的体积）(为曲面）在有界闭域上连续,关于面对称,为对应的部分，则关于有轮换对称性，则当(即时，将任意互换得到的点也属于)

2、则等对称的性质①②例1P1821(1)例2,其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.解:关于有轮换对称性，则故二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.(“先一后二”)方法2.(“先二后一”)方法:方法1.(“先一后二”)步骤：①把往面作投影得积分区域假设平行于轴且穿过区域的边界曲面相交不多于两点.②在内任取一点,过作平行于轴的直线交的边界曲面于两点和内部的直线与闭区域.P记作则.若则P方法2.(“先二后一”)记作适用范围:被积函数只变与一个量有关，且截面的面积易计算.或易计算.①②若当被积函数在积分域上变号时,因为均为

3、为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.其中为三个坐标例3.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面（法一）（法二）例3.例4.计算三重积分解:用“先二后一”？,其中由曲面及平面所围成的闭区域.例5.,其中由曲面及平面所围成的闭区域.例5.解:2.利用柱坐标计算三重积分就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面直角坐标与柱面坐标的关系:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为其中适用范围:圆锥面;旋转抛物面;柱面积分域由围成利用柱坐标计算三重积分的步骤把往面作投影得积分区域

4、①②在内任取一点，过作平行于轴的直线交的边界曲面于两点和且则例6.计算三重积分其中为由及平面所围立体.解:在柱面坐标系下法1法2用“先二后一”其中为例7.计算三重积分所解:在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.例8.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=3.利用球坐标计算三重积分就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面直角坐标与球面坐标的关系其中适用范围:积分域球面，球面由圆锥面或和围成；利用球坐标计算三重积分的步骤①确定的限将积分区域面作投影得积分区域往，对按平面极坐标确

5、定角的变化范围②确定的限对固定过轴作一半平面，这半平面与相交得域，对按平面极坐标确定角的变化范围中任一点的极坐标为是转至的转角.最大变化范围最大变化范围③轴对固定和从原点出发作射线,这射线从进入区域,从穿出区域则其中例9.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中与球面连续,且其中例10.讨论①在内单调性；②证明当时，解:①在内单调递增。故②证明：令当时，单调递增。当时，故作业P1641(2);4;8;9(2);第四节内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分

6、也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;1.将用三次积分表示,其中由六个平面所围成,2.设计算3.设由锥面和球面所围成,计算练习其中由所围成.⒋计算三重积分1.将用三次积分表示,其中由所六个平面围成,解：2.设计算提示:利用对称性原式=奇函数3.设由锥面和球面所围成,计算解：利用对称性用球坐标⒋解：备用题1.计算所围成.其中由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“三次积分”较好.所围,故可思考:若被积函数为f(y)时,如何计算简便?表为解:2.计算其中解:利用对称性