高数a(2)习题课(9)三重积分 (1)

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1、三 重 积 分习题课(9)课件制作：全志勇于红香二、作业选讲三、典型例题四、课堂练习一、内容总结一、内容总结1、三重积分的概念(1)定义:(2)物理意义:的空间物体的质量.表示体密度为2、三重积分的性质(1)线性性质：(2)可加性：(4)单调性：若在上，，则(5)估值性质:设的体积，则在上至少存在一点，使得(3)的体积：(6)中值定理：设函数在闭区域上连续，是,则3、三重积分的计算方法(1)利用直角坐标计算a)“先一后二”法则b)“先二后一”法其中是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则若为在面上的投影区域若(2)利用柱面坐标计算若则(3)利用球

2、面坐标计算若则4、三重积分的解题方法计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标三种坐标计算.通常要判别被积函数和积分区域所具有的特点.如果被积函数积分区域的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果被积函数，则可采用先二后一法计算；如果被积函数，积分区域为柱或的投影是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备，则采用直角坐标计算.二、作业选讲(P72.四).计算三重积分其中是由xOy平面上曲线所围成的闭区域.提示:利用柱坐标原式绕x轴旋转而成的曲面与平面三、典型例题例1.设由确定,由所确定,则C上半球第一卦限部分例2.把积分化为三次积分,其中由曲

3、面提示:积分域为原式及平面所围成的闭区域.例3.计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.解法1：利用球面坐标计算.用圆锥面将分成两部分其中于是,得(由作业P71三1修改)解法2：利用柱面坐标计算.由于在平面的投影区域为故在柱面坐标下，解法3:由于被积函数缺x,y,原式=利用“先二后一”计算方便.注意：从上面三种解法的计算过程中不难发现,“先二后一”法最为简便.解例4.分析：由于被积函数中含有绝对值，故应首先考虑由三重积分的对称性结论，可简化所求三重积分.如何去掉绝对值，注意到积分区域关于三个坐标面均对称，同时被积函数关于都为偶函数，故设为在第一卦限内的

4、区域，则注意：若本题用球面坐标法计算,虽积分限很简单，但被积函数的积分却不易求得.利用“先二后一”计算.例5.试计算椭球体的体积V.解法1解法2利用三重积分换元法.则令例6.设函数f(x)连续且恒大于零,其中(1)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;(2)证明t>0时,(2003考研)解:(1)因为两边对t求导,得f(x)恒大于零,(2)问题转化为证即证故有因此t>0时,因广义二重积分例7.求，其中D为y=4x2与y=9x2在第一象限所围成的区域.解：积分区域图形如图所示.易见其为广义二重积分.由被积函数可以看出，只能采用先对x积分后对y积分的积分

5、次序.此时区域D可表示为.因此例8.求一均匀的球顶锥体的重心，该球的球心与圆锥顶点重合,球的半径为a,圆锥的半顶角为.解：取球心为坐标原点，圆锥的对称轴为z轴，建立直角坐标系，如右图.则球面方程为：锥面方程为：球顶锥体就是这两个曲面zxy所围成的区域.故由于密度常数且关于z轴对称，采用球面坐标计算三重积分：故该物体的重心坐标为：zxy四、课堂练习【2】计算三重积分.其中是由锥面与平面所围成的闭区域。【4】设连续，，其中，。求，。【1】设，计算.【3】计算三重积分,其中是由圆锥面与上半球面所围成的闭区域。【6】计算三重积分。其中是由曲面与平面，及所围成的闭区

6、域。【5】求，其中是由球面所限定的球域。【7】将三次积分改换积分次序为.课堂练习解答分析：由于积分区域关于面对称，而函数关于变量为奇函数，所以,又，故本题可利用对称性及积分的性质计算。解：【1】设，计算.【2】计算三重积分.其中是由锥面与平面所围成的闭区域。被竖坐标为的平面所截的平面闭区域为圆域故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法计算比较简便；所以本题也可采用柱面坐标计算解法1：利用“先二后一”方法计算。由于，面上的投影区域为圆域考虑到积分区域在坐标分析由于被积函数只与变量有关,且积分区域其中，故解法2：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下故有注意：从上面两

7、种解法的过程来看,虽然本题可用两种方法来计算，但“先二后一”法相对简便。【3】计算三重积分,其中是由圆锥面与上半球面所围成的闭区域。分析：本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面坐标方法进行计算。解法1：利用“先二后一”方法计算。因由于当时，；而当时，。故需用平面将积分区域划分为两部分：其中于是，得解法2：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下故有注意：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。【4】设连续，，其中，。求，。分析：本题是三重积分的计算、变上限积分求导和求极限综合题目。由于积分区域为圆柱体,故应首先利用柱

8、面坐标将三重积分转化成积分变上限的函数，然后求导，最后再利用洛必达