[理学]高数下g10_3三重积分

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1、第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分的概念和计算方法第十章1一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为2定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作由定义可知,引例中物体的质量为:特别若在那么三重积分在数值上就等于区域的体积即:3性质:三重积分的性质与二重积分相似.例如中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,三重积分存

2、在定理:当函数在区域上的三重积分必定存在,此时称函数4二、三重积分的计算1）利用直角坐标计算三重积分方法2.投影法(“先一后二”)方法3.截面法(“先二后一”)方法1.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:5投影法方法1.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:6其中为三个坐标例1.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面7方法2.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度≈记作8例2:计算及抛物面所围成的区域.解法一:采用先对积分,将9解法二

3、;采用先对积分,将例2:计算及抛物面所围成的区域.10积分,将解法三;采用先对例2:计算及抛物面所围成的区域.11一般在解题时,首先应该根据区域的具体情况,考虑它对那个坐标面投影比较方便,从而决定采用先对那个变量积分的积分的次序.此题用解法三麻烦.12方法3.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作13例3.计算三重积分解:用“先二后一”14解法四:若注意到变量的取值介于两个常数之间,且在处用平行于坐标面的平面去截先二后一例2:计算及抛物面所围成的区域.15小结:三重积分的计算方法方法2.“先一后二”方法3.“先二后一”方法1.“三次积分”

4、具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.162.利用柱坐标计算三重积分就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面17如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.积分域由抛物面、圆柱面、球面所围成。被积函数表达式中含有等因子。18其中为由例1.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.19例2:求由圆柱面所围成的物体的质量.物体的密度为解:20例3.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由

5、抛物面原式=21例3.计算三重积分解:用先二后一所围成.与平面其中由抛物面22例4.计算其中解:利用对称性233.利用球坐标计算三重积分就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面24如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.积分域是由球面、锥面所围成。被积函数中含有的因子。25例1.求曲面所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xoz26例2.计算三重积

6、分解:在球面坐标系下所围立体.其中与球面27主讲教师:王升瑞高等数学第十七讲28例3：计算解法一：采用球坐标计算29例3：计算解法二：采用三次定积分计算30解法三：采用先一后二计算例3：计算31解法四：采用先二后一在处用垂直于轴的平面去截例3：计算32例4.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标33例5.计算所围成.其中由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“三次积分”较好.34解:例5.计算所围成.其中由35思考:若被积函数为f(y)时,如何计算简便?解法二:例5.计算所围成.其中由36例6.计算解:积分域为平面x+y+z=1与三个坐标面所围四交换

7、积分顺序，得练习计算（P368题6）面体,37例6.按的先后顺序更换下列积分次序:解:若积分域图形难画时,可逐次固定一个积分变量,变换另两个变量的积分次序.(1)原式=3839内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;401.将用三次积分表示,其中由所提示:思考与练习六个平面围成,412.设计算提示:利用对称性原式=奇函数42作业P1641,(3),(