重积分及其应用第三节三重积分

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1、第三节三重积分一三重积分的概念二三重积分在直角坐标系下计算三重积分在柱坐标系下计算四三重积分在球坐标系下计算1一三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:的质量M.密度函数为2定义.存在,称为体积元素,若对任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,下列“乘积和式”极限记作设在有界闭区域上有界，作任意分割:

2、3二三重积分在直角坐标系下计算设如果将被积函数看成的体密度函数，则对任意固定相应的平行于轴的直线落在部分的质量从而因此的总质量为4特别如果先定后重5同理如果6其中为三个坐标例1.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面7例2计算三重积分其中是由曲面围成的空间区域。解8例3化三重积分为直角坐标下的三次积分。1）是由曲面围成解92）由围成的区域解102）是由围成的区域。解11如果区域落在平面之间，对任意固定的相应的平行于面的平面截所得的平面区域为则先重后定12例4计算三重积分其中围成的闭区域。是由曲面解介于平面之间，对于相应的截面为区域13三

3、重积分在柱坐标系下计算就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面14如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.15定限原则16其中为由例5计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.17例6计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.抛物面原式=其中由18例7计算三重积分其中由所围成.解介于之间，对于相应于的截面在柱坐标可表示为19四三重积分在球坐标系下计算称为点球坐标。球坐标与直角坐标之间的关系：球坐标下

4、坐标面球面半圆锥面半平面20如图，球坐标下体积元素为适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.其中2122例8计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中与球面23例9将三重积分化为球坐标下的三次积分1）解242）解253）解26例10设计算解原式=奇函数27一般地，当积分区域关于平面对称，是关于的偶函数，若被积函数是关于的奇函数，且被积函数则三重积分为零，在平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.则三重积分为使用对称性时应注意：说明1积分区域关于坐标面的对称性；２被积函数在积分区域上的关于

5、三个坐标轴的奇偶性28例11设由曲面和所围成,计算解利用对称性用球坐标29