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1、第二节二重积分的计算这一节我们来讨论如何进行二重积分的计算，很显然用其定义来计算是很复杂的．一、矩形上的二重积分的计算为了方便我们先给出矩形上的二重积分的计算的方法.定理12.4若函数f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的可积函数.若对每一个x∈[a,b]积分存在,则h(x)在[a,b]上可积,并有等式,它也记为.这个表达式称为二次积分或二次累次积分,也简称为累次积分.证明在[a,b]中插入若干个分点,并记Δxi=xi-xi-1,(i=1,2,…..,n),当令λx=max{Δxi
2、i=1,2,…..,n},要
3、证:.再在[c,d]中插入若干个分点,Δyj=yj-yj-1,(j=1,2,…..,m),那么,直线y=yj(j=0,1,2,…..,m),x=xi(i=0,1,2,…..,n)将D分成mn个小矩形Dij=[xi-1,xi]×[yj-1,yj](i=1,2,…..,n,j=1,2,…..,m).当记,,因此,注意到,此式的左右两端正是f(x,y)在矩形上以此分划的Darboux小和及大和..再令令λy=max{Δyi
4、i=1,2,…..m},λ=λx+λy,由可积性知,,.又有两边夹易得,即有,那么h(x)在[a,b]
5、上可积,并有等式.同样我们可得定理12.5若函数f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的可积函数.若对每一个y∈[c,d]积分存在,则g(y)在[c,d]上可积,并有等式,这时它也记为(也是二次积分或累次积分).引理若函数f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的连续函数,那么和分别是[c,d]和[a,b]上的连续函数.当然也是相应区间上的可积函数.证明只证g(y)是[c,d]上的连续函数.由条件知,f(x,y)在[a,b]×[c,d]上一致连续,所以,任意ε>0,存在δ>0,对任意(x1,y1),(x2,y
6、2)∈[a,b]×[c,d],只要,有,所以任意y1,y2∈[c,d],当
7、y1-y2
8、<δ,.故g(y)在[c,d]上的一致连续.由此可得定理12.6若函数f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的连续函数.则.即可交换顺序.这个结论的可以放宽为:f(x,y)是矩形=[a,b]×[c,d]上的可积函数,对每一个y∈[c,d]积分存在,对每一个x∈[a,b]积分y也存在,.这时定理12.6结论仍然成立,即.二、一般区域上的二重积分计算y首先我们来讨论是下面一种比较特殊的区域时的情况，然后讨论一般情形．设其中是区间上
9、的连续函数，，这样的区域D，我们称之为－型区域(当然可求面积)．如图12-2-1所示．dx=v(y)x=u(y)cxO图12-2-2图12-2-1当是区间上的连续函数，（如图12-2-2）称为y－型区域.定理12.7设函数f(x,y)是有界闭区域上的可积函数，U=[a,b]×[c,d]包含D.那么当令,那么是U上的可积函数.并且.事实上在D上可积,在U-D上也可积.由性质知在U上的可积.定理12.8设为－型区域,f(x,y)是上的连续函数，那么证明令U=[a,b]×[c,d]包含D.由定理12.7注意到,当固定x时,若
10、,=0,;若,.所以,显然.例1计算二重积分，其中是由直线及所围成的闭区域．解区域如图12-2-3所示，可以将它看成一个-型区域，图12-2-3即．所以 也可以将看成是－型区域，，于是 有上面的例子可以看到，计算二重积分的关键是区域，要注意的是区域的区别,同时还要考虑被积函数．定理12.9设为－型区域,f(x,y)是上的连续函数，那么如果既不是-型区域也不是y-型区域,如图12-2-4我们可以将分划成若干个x-型区域和y-型区域的并.图12-2-4例２ 计算二重积分，其中是有抛物线及所围成的有界闭区域．解：
11、如图12-2-4，区域可以看成是－型区域，它表示为，所以D2D1．我们也可以将看成是两个－型区域的并集．如图1２-2-5，其中图12-2-5所以积分可以写为两个二次积分的和．即．最后可以算出同样的结果，当然这样计算可能要麻烦一点．所以识别区域很重要，还有一点要注意的是，有的区域尽管既是－型的，又是－型的，但是在计算时候,可能将它看成其某中一种时，计算不出来．比如下面的例子．例３ 计算二次积分．分析：直接按照这个顺序是计算不出来的，尽管的原函数是存在的，但是还是无法求出其表达式．我们可以考虑将这个积分先化为二重积分，再换
12、成另外一种二次积分来计算．解，其中是如图1２-2-6所示的区域，将它看成是-型区域，有，所以图12-2-6上面例子的方法常称为交换积分次序.可以看出，有时候计算时需要交换二次积分的积分次序，而使得计算简单，有时候如不交换次序,是难以计算出结果．设，如果f(x)和g(y)分别在[a,b]和[c,d]上可积,则f(x)g(y)在D上可
