《积分计算》word版

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1、宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》第五章积分计算教学要求：1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定

2、数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；教学时数：18学时-20-宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》§5.

3、1原函数与不定积分教学要求：积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。教学重点：深刻理解不定积分的概念。一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算.二、讲授新课：（一）不定积分的定义:1、原函数定义 设函数在区间有定义，存在函数，若，有，则称函数是在区间的原函数，或简称是的原函数。定理 若是函数在区间的一个原函数，则函数的无限多个原函数仅限于的形式。2、不定积分定义函数的所有原函数称为函数的不定积分。表为：。其中称为

4、被积函数，称为被积表达式，称为积分常数。可见，若有原函数，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.例1填空:;(;;;;-20-宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》.（二）基本积分表及其使用1.运算法则：（1）或；（2）或；（3）（）；（4）。2.积分公式：1、，其中为常数。特别地：；2、，其中是常数，且；3、；4、，其中，且；特别地；5、；6、；7、；8、；9、；10、；-20-宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》11、；12、。3.例题例2求。例3求。例4求。例5求.例6求。（三）不定积分的基本性质:以下设和有原函数.（1）.(先积分后

5、求导,形式不变应记牢！).（2）.(先求导后积分,多个常数需当心！)（3）时，（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）（4）由（3）（4）可见,不定积分是线性运算,即对,有-20-宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》(当时,上式右端应理解为任意常数.)例7.求.(=2). （四）．利用初等化简计算不定积分: 例8.求.例9.例10.例11.例12.例13.三、小结练习P2021(1,3,5,7,9,11,13,15)23作业P2021(2,4,6,8,10)4§5.2换元积分法-20-宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》教学要求：换元积分

6、公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。教学重点：熟练地应用换元积分公式;一、新课引入：由直接积分的局限性引入二、讲授新课：（一）.第一类换元法——凑微分法：定理1（第一换元积分法）若函数在可导，且。有，则函数存在原函数，即。常见微分凑法：凑法1例1 求。例2 求。例3 求。例4求。例5求。凑法2.特别地,有-20-宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》和.

7、例6求。例7求。例8求。凑法3例9（1）（2）例10其他凑法举例:例11.例12 例13-20-宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》.例14.例15.（二）第二类换元法——拆微法：从积分出发，从两个方向用凑微法计算，即===引出拆微原理.定理2（第二换元积分法）若函数在可导，，且，函数在有定义，，有，则函数在存在原函数，且。例16求。例17求。例18求。例19求，  -20-宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换.1.三角代换:

8、（1）正弦代换:正弦代换简称为“弦换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:令,则例20 解法一直接积分;解法二用弦换.例21. 例22 .（2）正切代换:正切代换简称为“切换”.是针对型如的根式施行的,目的