《定积分的计算》word版

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1、§4定积分的计算由于定积分的计算基于求原函数（即不定积分）的计算，对应于不定积分的换元积分法和分部积分法，定积分也有相应的换元积分法和分部积分法，此时要注意积分上下限的处理。4.1定积分换元法定理4.1设函数在区间上连续，函数满足：(1)在区间上可导，且连续；(2)当在区间上变化时，对应的函数在区间上变化，且，，则有。(4.1)证　由假设知上式两端的被积函数是连续的，因此，原函数存在。设是的一个原函数，用Newton-Leibniz公式，则。另一方面，　　　　。比较以上两式得式(4.1)。注(1)(4.1)式称为定积分的换元公式，故称

2、为定积分的换元法；(2)应用公式(4.1)时，换元要注意换积分限；换元后，不一定有，要注意上下限对应关系，；(3)换元的公式(4.1)从右到左进行，即为凑微分方法；(4)437从结论(4.1)看到，在用换元积分法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，立即用相应的积分限代入，并求其差值就可以了。亦即不必作变量还原，再用原来积分限去计算定积分的值。这就是定积分换元法与不定积分换元法的区别。这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应采用与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，它与计算过程中所采用的变量符

3、号无关。(5)如果定理的条件中对只假定可积，但要求严格单调，那么(4.1)式仍然正确。例4.1计算定积分。解代换：，则；；时，，满足定理条件，故例4.2计算定积分，其中。解例4.3设是区间上连续的奇（或偶函数）函数，则，（。）证(1)当时，；(2)当时，。437注(1)此题的结论在今后定积分计算中可以直接应用简化计算偶、奇函数在对称区间上的定积分，如。()；(2)由此题我们可以体会到除了与不定积分换元法相同的计算作用外，定积分换元法在关于积分等式的一些证明题中具有奇妙的作用。例4.4设函数在区间上连续，求证：(1)；(2)；(3)。证

4、(1)(2)(3)移项后可得：。例4.4可以作为一个重要结论来使用，如437。注该定积分的被积函数的原函数不易求得，但利用换元法却方便的计算出了它的结果。例4.5若为连续的奇函数，证明是偶函数。证由条件，，记，则证得：是偶函数。例4.6设连续，求函数的导数。解所以，。例4.7求证：。证4374.1分部积分公式定理4.2若函数在区间[a，b]上有连续的导数，则有定积分分部积分公式：。(4.2)证是在[a，b]上的一个原函数，，移项后即得。注定积分分部积分法与不定积分分部积分法使用范围无差异，也就是说，在不定积分中需要用分部法的函数在定积

5、分中仍要使用，它们仅在形式上有差异，即应用定积分分部法时，应注意积出部分要随时代入上、下限，以化简计算。例4.8计算积分。解。例4.9计算积分。解与不定积分中的情形一样，令，则有。例4.10计算积分。解令则，且当时，，当时，，所以437。例4.11计算积分。解。例4.12计算积分。解。移项后可得：。例4.13计算积分。解。例4.14计算积分。解=；437解得直接求得，。于是，当为偶数时，有；当为奇数时，有。从而有：；以上可以作为重要结论来使用，如；；例4.15计算积分，是自然数。解由公式，有即。4.1一题多解与综合例题例4.16计算定

6、积分。437解例4.17计算定积分。解，，，，故或例4.18计算定积分。解即；或，而，从而437。例4.19设函数是以为周期的连续函数，证明：与无关。证~~此值与无关；或~~此值与无关；或，设，则，即对于任意的值，；特取，~~此值与无关。例4.20设在区间上连续，证明，。证。移项并整理后可得：。例4.21设连续，且，证明：。证。437注解此类问题要注意条件与结论之间的关系，要使条件能够得到应用，就必须将问题朝着有利于条件的方向转化。例4.22设，求。解两边积分：；；；；，所以；；从而。注此题的关键在于认识到是常数。例4.23设在连续证

7、明：。证明右边=。4374.1Taylor公式的积分型余项设函数在点的某邻域内有阶连续导数，令，则。其中即为的泰勒公式的阶余项。由此可得，即为Taylor公式的积分型余项。由于连续，在（或）上保持同号，故若应用推广的第一积分中值定理于积分型余项，可知，，，使得。即为Lagrange型余项。如果直接利用积分第一中值定理与Taylor公式的积分型余项，则得，。由于。因此又可把改写成，。特别当时，又有，。即上述两个公式称为Taylor公式的Cauchy型余项。4.2积分第二中值定理437定理4.3(积分第二中值定理)设在上可积。(1)若函数

8、在上单调递减，且，则，使得。(2)若函数在上单调递增，且，则，使得。证（1）根据条件必有界，设，又是可积函数，从而有，这里是在上的振幅。此外，又知也是可积的，设。对于分割，它能表示成如下两个部分之和：。对于，由于，因此有