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时间:2018-12-25
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1、不定积分例:设是的原函数,是的原函数,且,求。由,两边求导例:设单调连续、可导,是它的原函数,若,求例:设由方程确定的隐函数,求注:将用表示,用表示,难!令,代入原式原式=注:这种求隐函数的不定积分,一般都是通过变量变换将用同一参数表示出来,然后求解例:设由方程确定的隐函数,求令11例:令,分段函数的不定积分例:,求。当当,则是连续函数,例:已知,在上,,求。由,于是。11定积分求极限例:两边积分,右边=,由夹逼定理可知:例:.不能用L’Hospital法则,求导后极限不存在。当而又左边=则,由两边夹法则可得,原式例:估计的符号因为而,故,由积分中值定理原式类似地,例:证明
2、令,进行换元积分,有11对第二个积分用换元积分,则有原式=由于在上,被积函数是一个正函数,从而可得结论。例:设在上连续,求分析:积分不易,用积分中值定理。设,在上连续,且不变号,则存在,使得,在相应的区间;;原式。例:设在上连续,且单调非负,又,证设单调增加,由非负,,类似可得,由两边夹法则,,其中右边用级数收敛判别法。11例:注意:善于利用被积函数的奇偶性和积分区间的对称性例:例:对称区间上的积分,作负变换,通常有效。例:上述做法的基本思想是:例:,令原式(奇函数)例:例:求值,使得,其中.由于,令得。含有参数的定积分:例:,其中为实数11例:;,总之:例:设,求由设,又
3、因于是求定积分得例:设,求。法1、,令,则,法2、令,则由于,则。例:,求。令,原式例:例:设,且,求法1,先求出,然后积分。11法2、而,代入上式得,令,得应用分部积分法得:例:,令以上结果是错误的,因为是瑕点。,原函数,原积分发散。注:对于积分,由于,其中原积分可化为,后一积分的分子是分母的导数。例:已知,求当,当当11当例:例:已知,求所以,例:设为常数,且,,求,使得右式分部积分,,若11,发散。所以,必有,此时,由,所以,,则例:设,证:1、,2、1、2、,同时加上,有由1、可知上式左边,而右边,即得。例:求所以,,于是,例:设,,证:用归纳法。,交换积分次序设成
4、立,交换积分次序11例:设,求的最值。当当从而,,为极小值。由在内只有唯一极小值,则必为最小值。当在严格增加,又,所以,无最大值。例:设k为任意实数,证明:.证明:先证:令,得 于是所以 11所以 同理 11
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