不定积分、定积分复习

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1、第三章不定积分定积分积分就是反“微分之道”而行，把微分出来的东西还原回去.积分又可分为两种类型，即定积分和不定积分.一个函数的定积分，结果会是一个确定的数，而函数的不定积分，仍然是一个函数，我们把它叫做“原函数”，它的求法刚好和取导数的做法相反.让我们先来看看不定积分.一、原函数与不定积分函数的不定积分结果，就是该函数的原函数.它是一个新的函数，这个新函数的导数正好等于原来的函数.求不定积分的方法就是把取导数的过程倒过来.有些人认为，积分符号是由英文字母“S”变来的，代表sorry一字的缩写.据说当年牛顿就因为把这个观

2、念强加在他的学生身上，于是向学生表示歉意，说：“Sorryaboutthisoldchaps.”另外一些人则认为，这个符号应该代表“Sum”（总和）.跟在积分符号后面的这个函数，壁如上例中的2x，称为“被积函数”.那么积分式子尾巴上的dx又是干什么的呢？它是用来指明式子里被积分的变量是x..1、如果函数f(x)有原函数，则它有无穷多个原函数我们看个例子：不是导数等于的唯一函数，例如的导数同样也等于，，的导数也是一样.事实上，我们可以把任何一个常数加到上，而丝毫不影响它的导数.为了把所有这种可能的情况都包含在内，我们干脆

3、写成：，（C代表任意常数）重要提示：千万别忘掉这个常数！2、原函数与不定积分是个体与整体的关系.F(x)只是f(x)的一个原函数，而f(x)的不定积分是全体原函数F(x)+c.不定积分与微分互为逆运算，“积分法”是在“微分法”的基础上建立起来的.由函数的微分法可以推出求不定积分的法则.如由乘积的求导法则可得到分部积分法.二、不定积分的基本公式求不定积分的基本方法是：设法将所求的积分化为基本积分公式中已有的积分形式，然后利用公式求出结果，因此公式是计算不定积分的最终依据，必须熟记.由于积分就是把微分来个反其道而行之，所以

4、我们把前面学过的基本导数公式反过来，就可以得到积分公式了.比如：把它反过来写，就可以得到以下公式：我们可以验证一下，结果是否正确，只要对积分结果求导就可以了：这就证明了确实就是的所有原函数，即不定积分.这条积分公式几乎对所有的n值都适用，但有一个n值例外.当n=-1时，积分结果的分母会等于0，也就是说，上面的积分公式不能用到积分上.所以我们有一个结论：幂函数的不定积分是幂函数和对数函数.我们另外有公式：例题1：计算.上式中，n=3，所以.例题2：计算.==这道题还用上了不定积分的性质.其他的积分公式可以仿照幂函数的积分

5、公式得出来.三、第一类换元积分法（凑微分法，常考）它是把关于x为自变量的被积表达式f[φ(x)]φ′(x)dx凑成关于中间变量u=φ(x)的表达式f（u）du，从而达到∫f（u）du容易求出的目的.该积分方法的技巧是把微分法中的链式法则反过来，我们复习一下复合函数的链式法则：把它反过来做积分，我们会得到什么呢？换元法：一般地，我们用u来替代g，上式变为：还可以这么写，让那么积分就变成：在应用当中，不需要背这个公式，只要记得把积分式子里带有x的项，包括dx，全部转成带有u的项.这个方法的关键也是它的困难之处，在于要能看出

6、，被积函数的哪个部分应该等于u.例题1：计算.让u等于sinx，则得到这样做的好处是，你可以用du取代积分表达式中那个让人头痛的cosxdx，并用u取代sinx，这样可以把计算大大简化：最后别忘了把答案中的u再换回sinx，成为x的函数：例题2：求不定积分.让，则为了避免常数捣乱，我们把等号两边都除以3：于是，积分就成了：=第一类换元积分法的关键是凑微分，因此需要熟练掌握常见的凑微分式，才能灵活运用.一般常见的微分式有：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）上面的式子大家不需要背，多做几道练习就可以了.

7、四、分部积分法（这种方法很少考到）当积分∫udv不容易求出，而∫vdu容易求出时，就可考虑用分部积分法.在应用分部积分法时，正确选择u，v是关键.五、定积分概念（1）在定义中，对区间[a，b]的分割方法是任意的，对ξi在上的取法也是任意的；（2）定积分的值是一常数，它只与区间[a，b]及被积函数f(x)有关，而与[a，b]的分割方法及ξi的取法无关；（3）定积分的值与积分变量所采用的符号无关，即.六、定积分的性质所谓定积分，就是由一个函数加上两个数值，最后产生一个（确定的）数值.定积分的长相和不定积分几乎完全相同，只不

8、过在积分符号的上下两处，各多了一个写得小小的数值，这两个数值叫做积分限，上面的叫积分上限，下面的叫积分下限.下面是定积分的标准写法：七、变上限定积分的导数（微分学基本定理）（1）若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)的原函数存在（就是），从而f(x)的不定积分存在：.（2）八、定积分的换元积分法与分部积分法定积分怎么计算呢？很容