定积分与不定积分

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1、例1估计定积分的值．先求在[－1，1]上的最大值和最小值．，令得驻点，比较在驻点及区间端点处的函数值，，，故最大值，最小值．由估值定理得，．例2求定积分解因为是的一个原函数，所以，由牛顿—莱布尼兹公式可知例3求定积分解因为是的一个原函数，由牛顿—莱布尼兹公式可知例4求广义积分.解由广义积分的计算方法可知例5求广义积分.解由广义积分的计算方法可知例1求下列不定积分(1)；(2);(3);(4)解(1)由积分公式及性质可得(2)将被积函数进行恒等变形，再用积分公式.(3)(4)例2求下列定积分(1)；(2);(3).解(1)根据牛顿—莱布尼兹公式，得(2)先利用半角公式

2、，将被积函数恒等变形，再逐项积分求原函数，最后由牛顿—莱布尼兹公式求定积分值.(3)当0≤≤1时，；当1≤≤2时，.例1求不定积分.解我们注意到，因此原积分可以通过以下步骤得到解决，一般地，有称以上这种积分方法为第一换元积分法，又称凑微分法.常用的凑微分等式:;;;;;;;;;;.例2求不定积分解例3求下列不定积分(1)；(2)；(3).解(1)(2)(3)例4求下列定积分(1)；(2).解(1)先求不定积分再利用牛顿—莱布尼兹公式，得=本题也可以这样求解.换元:令，换限:,这种方法称为定积分的换元法，它要求换元的同时一定要换限.(2)2.第二换元积分法例5求不定积

3、分解令代入上式，得一般地，其中是的反函数.这种积分法称为第二换元积分法，它可以解决根式函数的积分.例6求解先求不定积分，利用第二换元积分法，令，则,于是由牛顿—莱布尼兹公式，得本题也可以使用定积分的换元法，并注意换元一定换限.这种方法省略了变量还原的过程，较易.一般的这里与分别是对应于的a与b的值．5.3.2分部积分法分部积分法主要解决的是两个不同类型的函数乘积的积分问题．即两边积分得即这个公式称为分部积分公式.使用该公式的关键是如何选择和.例7求不定积分解例8求不定积分解例9求不定积分解例10计算不定积分解例11求定积分解先求不定积分，由分部积分公式，得再利用牛顿

4、—莱布尼兹公式，得本题也可以采用下面的书写形式：==15.3.3积分表的使用将一些函数的不定积分汇集成表，叫做积分表．例12　求解　这个被积函数属于类型．由附表中公式63，将代入即得例13求解该积分无法在附表中直接找到,可以通过下面的变量替换得到解决.设于是利用附表中公式将,代入即得再将变量还原,得例1求抛物线及所围成图形的面积解两条抛物线所围成的平面图形如图5-7解方程组0x得交点的横坐标，.该图形属于情况1，故所求面积B(8,4)0A(2,-2)xy例2计算抛物线与直线所围成图形的面积．解　如图5-8解方程组求得交点的纵坐标为，，该图形属于情况2，所以所求面积5

5、.4.2定积分在经济上的应用例3某商品一年的销售速度为()，求此产品前3个月的销售总量.解由变化率求总量，可以通过定积分解决，故所有销售总量为(件)即此产品前3个月共销售300件.例4已知生产某产品的边际成本和边际收入分别为(万元/百台)(万元/百台)其中和分别是总成本函数和总收入函数.(1)若固定成本万元，求总成本函数，总收入函数和总利润函数；(2)产量为多少时，总利润最大？最大总利润是多少？解(1)总成本为固定成本与可变成本之和，即这里，既是积分限，又是积分变量，为区别情况，故改写为总收入函数为(产量为零时，收入为零，故)总利润为总收入与总成本之差，故总利润为(

6、2)由，令，得唯一驻点，即当百台时，由最大值，即最大利润为(万元).