不定积分与定积分(I)

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1、一、本章的主要内容二、典型例题不定积分与定积分习题课(二)第四章问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式一、定积分主要内容1、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积A）实例2（求变速直线运动的路程）方法:分割、近似求和、取极限.2、定积分的定义定义记为可积的两个充分条件：定理1定理23、存在定理4、定积分的性质性质1性质2性质3性质5性质4推论：（1）（2）性质7(定积分中值定理)性质6积分中值公式5、牛顿—莱布尼茨公式定理1定理2（原函数存在定理）定理3（微积分

2、基本公式）也可写成牛顿—莱布尼茨公式6、定积分的计算法换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式７、广义积分(1)无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分微元法所求量的特点解题步骤定积分应用中的常用公式8、定积分的应用（2）就是说，如果把区间分成许多部分区间，对于区间具有可加性，相应地分成许多部分量，则等于所有部分量之和；而（1）是与某个变量的变化区间有关的量；微元法的一般步骤：这个方法通常叫做微元法．设想把区间分成个小区间，并记为，求出相应于这小区间的部分量近似值.若可近似地表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积，把称为量且

3、记作，即；2）取其中任一小区间的的微元定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数极坐标情形(2)体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为C．曲线弧为弧长(4)细棒的质量(5)变力所作的功(6)水压力(7)引力例1求极限解：原式例2求极限提示：原式左边=右边二、典型例题例3解例4解例5解例6解例7解例9解例8例10求多项式f(x)使它满足方程解:令则代入原方程得两边求导:可见f(x)应为二次多项式,设代入①式比较

4、同次幂系数,得故①再求导:例11例12例13证明柯西不等式例14证作辅助函数例15例16求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y轴的交点分别为所指面积且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点例17设非负函数曲线与直线及坐标轴所围(1)求函数(2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体解:(1)由方程得图形面积为2,体积最小?即故得又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V取最小值.故所求旋转体体积为例18求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积

5、.解:曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则证根据椭圆的对称性知故原结论成立.例20解如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点,有故所求速度为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为证明曲边扇形绕极轴证:先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积微元故旋转而成的体积为作业P3443(2)4(11)(13)8.9.13.26.29.37.42.