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1、已知,求已知,求一、原函数x2是2x在(–∞,+∞)内的一个原函数x2+5也是2x在(–∞,+∞)内的一个原函数x2+8也是2x在(–∞,+∞)内的一个原函数原函数定义:设F(x)和f(x)在某区间上有定义,如果在该区间上任一点x都有则称F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数.F’(x)＝f(x)或dF(x)＝f(x)dxx2+c是2x的原函数.2x的原函数有无穷多个.原函数定义:设F(x)和f(x)在某区间上有定义,如果在该区间上任一点x都有则称F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数.F’(x)＝f(x)或dF(x)＝f(x)dx一、原函数如果f(x)有一个原函
2、数F(x),则F(x)+c也一定是其原函数.一个函数的任意两个原函数只差一个常数.x2+c是2x的原函数.2x的原函数有无穷多个.定义:函数f(x)的全部原函数,叫做f(x)的不定积分,记作积分号被积函数积分变量被积表达式如果F(x)是f(x)的一个原函数,则积分常数因x2是2x的一个原函数二、不定积分定义:函数f(x)的全部原函数,叫做f(x)的不定积分,记作如果F(x)是f(x)的一个原函数,则因2e2x是4e2x的一个原函数二、不定积分定义:函数f(x)的全部原函数,叫做f(x)的不定积分,记作如果F(x)是f(x)的一个原函数,则求因是的一个原函数求不定积分是
3、微分的逆运算二、不定积分若F(x)是f(x)一个原函数,则y＝F(x)为f(x)的一条积分曲线.oxyoxyxy＝F(x)y＝F(x)+cf(x)的不定积分的几何意义就表示积分曲线族.求通过点(1,2),斜率为2x的曲线.设所求曲线为y＝F(x)三、不定积分的几何意义1)不定积分与微分互为逆运算.注意:先积分后微分,两者作用相互抵消;先微分后积分,两者作用抵消后再加任一常数.四、不定积分的性质五、求不定积分的基本方法1.直接积分法(用基本积分公式)基本积分公式2.凑微分法常见的凑微分形式：2.凑微分法求若被积函数中含有可令,以消去根式.3.换元法求axt求axt被积函
4、数含有被积函数含有被积函数含有利用利用利用换元法总结设u＝u(x)及v＝v(x)具有连续的导数,求4.分部积分法4.分部积分法求4.分部积分法求分部积分法总结5.三角函数有理式积分法三角函数有理式积分法总结其中m,n至少有一个是奇数时,总是在奇次幂中提出一个一次式与dx凑微分.其中m,n都是偶数时,用倍角公式降幂.用和差化积公式化成的sin和cos一次式.6.有理函数积分法6.有理函数积分法有理函数积分法总结:裂项配方曲边梯形的面积.连续曲线y＝f(x),直线x＝a,x＝b及x轴所围成的图形面积S一、定积分的定义和几何意义xyoabs曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值
5、ab一、定积分的定义和几何意义二、定积分的性质性质1(数乘性):性质2(线性性)性质3(可加性)xyoacb性质5(比较性):若在区间[a,b]上,f(x)≤g(x),则xyoab性质6(估值定理):设M,m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则性质5(比较性):若在区间[a,b]上,f(x)≤g(x),则xyoabmM性质5(比较性):若在区间[a,b]上,f(x)≤g(x),则比较积分与因为0ln(1+x)所以性质6(估值定理):设M,m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则证明因为f(x)=xnsinx单调增加,在区
6、间[0,a]上函数得到最大值M=f(a)=ansina,最小值m=f(0)=0,由估值定理得三、牛顿-莱布尼兹公式定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)的任何一个原函数,则用原函数来计算定积分定积分是一个确定的数,与被积函数及积分上、下限有关.当固定被积函数与积分下限时,定积分只与积分上限有关,是积分上限x的函数,记为xyoab四、变上限的定积分xyoaxb变上限的定积分定积分是一个确定的数,与被积函数及积分上、下限有关.当固定被积函数与积分下限时,定积分只与积分上限有关,是积分上限x的函数,记为四、变上限的定积分定理:若函数f(x)在[a,b]上
7、连续,则变上限定积分在[a,b]上可导,且xyoaxb变上限的定积分连续函数f(x)的原函数Φ(x)总是存在的四、变上限的定积分四、变上限的定积分变上限(复合函数)的定积分五、对称区间上求定积分xyoa–axyoa–a六、分段函数求定积分七、定积分的应用1.平面图形的面积xyobay=f(x)xyobay=f(x)由曲线f(x)≥0,x轴,直线x＝a,直线x＝b围成曲边梯形面积.由曲线f(x)≤0,x轴,直线x＝a,直线x＝b围成曲边梯形面积.由两条曲线f(x),g(x),直线x＝a,直线x＝b围成的图形面积.xyobay=f(x)y=g(x)七、定
