不定积分和定积分整章

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1、第一节不定积分的概念及性质第二节不定积分的积分方法一元函数积分学及其应用第三节定积分的概念第四节微积分基本公式第五节定积分的积分方法第六节广义积分第七节定积分的应用引入前面我们研究了一元函数微分学的基本问题，即已知一个可导函数F(x),求它的导数。但在实际问题中，常会遇到与此相反的另一类问题。已知某函数的导数f(x),求原函数F(x)。一、不定积分的基本概念二基本公式三、性质第一节不定积分的概念及性质1．原函数的概念原函数说明：一、不定积分的概念2.不定积分的概念例1求下列不定积分：微分运算与积分运算互为逆运算.结论：微分运算与积分运算是互逆的.若先积后微，作用相互抵消；若先微后积，则在抵消

2、后加任意常数C。3.不定积分的几何意义若y=F(x)是f(x)的一个原函数，则称y=F(x)的图形是f(x)的积分曲线.因为不定积分是f(x)的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族.积分曲线族y=F(x)+C的特点是：当C>0时，向上移动；(1)积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条(例如，曲线y=F(x))沿y轴平行移动

3、C

4、单位而得到.当C<0时，向下移动；(2)由于[F(x)+C]=F(x)=f(x)，即横坐标相同点x处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于f(x)，从而使相应点的切线相互平行(如图)．xyOy=f(x)y=F(x)+C积分曲

5、线族y=F(x)+C由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式：二、基本积分公式性质1被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即性质2两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即三、不定积分的性质例3求下列不定积分:例4求下列不定积分：(2)例5求f(x)=x2+1,x<0.解:F(x)=而要使F(x)成为f(x)在R上的原函数，必须F(x)连续，从而C1＝0，C2＝1，因此满足条件的函数为F(x)=故得思考题2．思考下列问题：一、换元积分法二、分部积分法三、简单有理数的积分3.1.2换元积分法和分部积分方法1．第一换元积分法(凑微分法)直接验证得知,计算

6、正确．，我们可以把原积分作下列变形后计算：换和计算：一、换元积分法还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：可一般化为下列计算程序：下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧．例6求下列积分：解（1）本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用．例7求下列积分：解本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形．本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式的积分结果．２．第二换元积分法40求令则因此得例11解44求令，则于是根据作直角三角形（如图），，从而xat得例14解一般地说，当被积函数含有为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.例15求（三角代换很繁琐

7、）令解例16求解二、分部积分法例20求解例22求积分解用分部积分法，当利用多项式除法，总可把假分式化为一多项式与真分式之和，例如多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积分法．三、简单有理式的积分化真分式为部分分式之和举例说明：有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面三种形式:前两种积分，简单凑微分法即可获解，下面举例说明（3）式的积分方法．思考题1.第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是什么？一、定积分的实际背景二、定积分的概念三、定积分的几何意义四、定积分的性质3.2.1定积分的概念3.2.1定积分的概念1.曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于

8、第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示.yOMPQNBxCAA推广为一、定积分的实际背景曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着y轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示：0x1x2xxnOxyy=f(x)0x=axn=b2．变速直线运动的路程二、定积分的概念三、定积分的几何意义四、定积分的性质仍有思考题一、变上限的定积分二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式3.2.

9、2微积分基本公式一、变上限的定积分如右图所示:例2求下列函数的导数：二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式例1求定积分：思考题一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法3.2.3定积分的积分方法一、定积分的换元积分法注意:求定积分一定要注意定积分的存在性.二、定积分的分部积分法一、无穷区间上的广义积分二、无界函数的广义积分3.3广义积分一、无穷区间上的广义积分二、被积函数有无穷间断点的广义积