不定积分和定积分知识的应用

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1、不定积分和定积分知识的应用1积分法原理及知识的应用1.1求解静定梁的挠度和转角，应用积分法的原理及知识此问题主要出现在水利工程专业的《工程力学》课程中，主要应用于求解建筑结构中静定梁的位移。梁变形时，其上各横截面的位置都发生移动，称之位移；位移通常用挠度和转角两个基本量描述。运用微分法和积分法求解挠度和转角的一般步骤是：（1）建立挠曲线近似微分方程，即；（2）对微分方程二次积分。积分一次，可得出转角方程：;再积分一次，可得出挠度方程：;(3)利用边界条件或连续条件确定积分常数C、D；（4）确定转角方程和挠度方程；（5）求指定截面的转角和挠度值

2、。〔实例1〕一等截面悬臂梁如图所示，自由端受集中力P作用，梁的抗弯刚度为EI，求自由端的转角和挠度。yxlxEIBPA分析：首先建立合适的直角坐标系，根据力学知识可知，该梁的弯矩方程为M（x）=-P（l-x），挠曲线的近似微分方程为=[-P(l-x)].然后，对微分方程二次积分，利用边界条件确定积分常数（C=0，D=0）.最后，回代转角方程和挠度方程，从而求得自由端截面的转角和挠度。解答：（计算过程略）自由端截面的转角和挠度分别为l2-Pl2）=yB=Pl3-Pl3）=（转角B为正，表示截面B是顺时针转；挠度yB为正，表示挠度是向下的.）〔实

3、例2〕一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示，梁的抗弯刚度为EI，求梁的最大挠度及B截面的转角。ylxBxAq分析：首先建立合适的直角坐标系，根据力学知识可知，该梁的弯矩方程为M（x）=qlx-qx2，挠曲线近似微分方程为=-[qlx-qx2].然后，对微分方程二次积分，利用边界条件确定积分常数（D=0，C=ql3）.最后，回代转角方程和挠度方程，从而求得最大挠度和截面B的转角。解答：（计算过程略）最大挠度发生在跨中，即为ymax=；截面B的转角为B=(B为负值，表示截面B反时针转).1.2求解荷载作用下结构的位移,应用积分法的原理及知识此问题

4、主要出现在水利工程专业的《工程力学》课程中，主要应用于求解建筑结构在荷载作用下产生的位移。运用积分法求解结构位移的一般步骤是：（1）以结构在实际荷载作用下的情形作为实际状态；（2）在要求位移的点处，顺着给定的方向加上单位荷载=1,建立相应的虚设状态。（3）分别列出在两种状态下结构中每根杆各段的内力表达式（坐标系统、坐标原点和积分变量在两种状态中都应该一致）；（4）将内力表达式代入荷载作用下位移的计算公式中，在结构的每根杆上逐段积分，然后求其总和，就可以求得位移△kp.[实例]渡槽是一种比较常见的农田灌溉输水建筑物，其槽身断面形式多数为矩形。某

5、矩形渡槽槽身的计算简图如图所示，试用积分法求C、D两点的相对水平线位移（即两点沿水平方向距离的变化），设各杆的EI为常数。HlEIxBAxxDC分析：实际状态为水压力作用在槽身上，虚设状态为在C、D两点加上一对反向的水平单位力=1。然后，应用同一坐标原点和变量，分别列出在两种状态下各杆段的弯矩表达式；再将其代入位移公式△kp=中，进行积分运算。最后，给定L和H一些对应数据，试算△kp值。解答：（计算过程略）△kp=当L=4m,H=3m时，△kp=←→);当L=4m,H=2m时，△kp=-(→←).以上计算表明：当水深H变化时，C、D两点的相对

6、水平线位移可正可负，即两点可能相互分开，也可能相互靠近，其水平方向距离的变化可以由△kp值确定。2定积分中值定理知识的应用定积分中值定理作为定积分的一个重要性质，计算河床的平均深度时，应用定积分中值定理知识。此问题主要出现在水利工程专业的《工程水文学》课程中，主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度，以此用作河流测流、工程设计或施工的一个依据。只要测量出河面在某处的宽度（B），河床的横断面形状和河床的最大深度（h），则可运用定积分中值定理知识计算该处河床的平均深度（），即(m).[实例]设一河流的河面在某处的宽度为2b，河流的横断面为

7、一抛物线弓形，河床的最深处在河流的中央，深度为h，求河床的平均深度.分析：首先，选取坐标系使x轴在水平面上，y轴正向朝下，且y轴为抛物线的对称轴。于是，抛物线方程为y=h-.然后，运用定积分中值定理便可求得河床的平均深度.解答：（计算过程略）河床的平均深度=.3定积分的近似计算（数值积分法）知识的应用近似求物体的截面积，应用梯形法或抛物线法等定积分的近似计算知识。此问题主要出现在水利工程专业的《灌溉排水技术》课程中，主要应用于近似计算河床、渠道的过水断面面积，进而计算截面流量（即渠系测流）。由水利学知识可知，单位时间内流过某一截面的流体的体积

8、就叫做通过这个截面的流量，即Q＝V/t（m3/s）.在水利工程中，流量的计算通常运用公式Q=sv(m3/s)，即过水断面面积（s）与流速（v）的乘积。〔实例1〕有一