定积分和不定积分的计算方法总结

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1、习题课第四章不定积分的计算方法一、求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分机动目录上页下页返回结束第四章不定积分微分法:F(x)(?)互逆运算积分法:(?)f(x)第四章第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质机动目录上页下页返回结束一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m的质点,在变力下沿直线运动,试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度A因此问题转化为:已知v(t)sint,求v(t)?m定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足则称F(x)为f(x)在区间I上的一

2、个原函数.AAA如引例中,sint的原函数有cost,cost3,mmm机动目录上页下页返回结束问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动目录上页下页返回结束定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)即又知[(x)F(x)](x)F(x)f(x)f(x)0故(x)F(x)C()0C0为某个常数即(x)F(x)C属于函数族F(x)C.0机动目录上页下页返回结束定义2.在区间I

3、上的原函数全体称为上的不定积分,记作其中—积分号;—被积函数;(P183)—积分变量;—被积表达式.若则(C为任意常数)xx例如,edxeCC称为积分常数213不可丢!xdx3xCsinxdxcosxC机动目录上页下页返回结束不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的积分曲线.f(x)dx的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.yox0x机动目录上页下页返回结束例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:y(1,2)所求曲线过点(1,2),故有ox2因此所求曲线为yx1机动目

4、录上页下页返回结束例2.质点在距地面处以初速垂直上抛,不计阻力,求它的运动规律.解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻t质点所在位置为则xdxv(t)(运动速度)xx(t)dt再由此求x(t)2dxdvg(加速度)x0x(0)2dtdto先由此求v(t)机动目录上页下页返回结束先求由知xxx(t)v(t)(g)dtgtC1由v(0)v0,得C1v0,故x0x(0)v(t)gtv0o再求由知1gt2vtCx(t)(gtv0)dt202由x(0)

5、x0,得C2x0,于是所求运动规律为x(t)1gt2vtx200机动目录上页下页返回结束从不定积分定义可知:d(1)f(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dxdx(2)F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C二、基本积分表利用逆向思维(P186)(1)kdxkxC(k为常数)(2)xdx1x1C(1)1dxx0时(3)lnxC1x(lnx)[ln(x)]x机动目录上页下页返回结束dx(4)2arctanxC或arccotxC1xdx(5)2

6、arcsinxC或arccosxC1x(6)cosxdxsinxC(7)sinxdxcosxCdx2(8)2secxdxtanxCcosxdx2(9)2cscxdxcotxCsinx机动目录上页下页返回结束(10)secxtanxdxsecxC(11)cscxcotxdxcscxCxx(12)edxeCexexshxax2x(13)adxClnaxxee(14)shxdxchxCchx2(15)chxdxshxC机动目录上页下页返回结束例3.求41

7、4x3解:原式=x3dxC41313x3C例4.求解:原式=1sinxdx1cosxC22机动目录上页下页返回结束三、不定积分的性质1.kf(x)dxkf(x)dx(k0)2.[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx推论:若则nf(x)dxkifi(x)dxi1机动目录上页下页返回结束例5.求xx解:原式=[(2e)52)dxxx(2e)25Cln(2e)ln2xxe52Cln21ln2机动目录上页下页返回结束例6.求2解:原式=(secx1)dx2

8、secxdxdxtanxxC例7.求2x(1x)解:原式=2dxx(1x)11dxdx21