不定积分和定积分整章

《不定积分和定积分整章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一节不定积分的概念及性质第二节不定积分的积分方法一元函数积分学及其应用第三节定积分的概念第四节微积分基本公式第五节定积分的积分方法第六节广义积分第七节定积分的应用一、不定积分的概念二、基本积分公式三、不定积分的性质第一节不定积分的概念及性质1．原函数的概念原函数说明：一、不定积分的概念2.不定积分的概念例1求下列不定积分：积分运算与微分运算之间的互逆关系：由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式：二、基本积分公式性质1被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即性质2两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即例

2、4求下列不定积分：三、不定积分的性质例5求下列不定积分:例6求下列不定积分：(2)得思考题2．思考下列问题：一、换元积分法二、分部积分法三、简单有理数的积分第二节不定积分的积分方法1．第一换元积分法(凑微分法)直接验证得知,计算正确．，我们可以把原积分作下列变形后计算：换和计算：一、换元积分法还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：可一般化为下列计算程序：下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧．例6求下列积分：解（1）本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用．例7求下列积分：解本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形．本题说明，选用

3、不同的积分方法，可能得出不同形式的积分结果．２．第二换元积分法一般地说，当被积函数含有二、分部积分法解一分项，凑微分．解五分部积分利用多项式除法，总可把假分式化为一多项式与真分式之和，例如多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积分法．三、简单有理式的积分化真分式为部分分式之和举例说明：有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面三种形式:前两种积分，简单凑微分法即可获解，下面举例说明（3）式的积分方法．思考题1.第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是什么？一、定积分的实际背景二、定积分的概念三、定积分的几何意义四、定积分的性质3.2.1

4、定积分的概念与性质1.曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示.yOMPQNBxCAA推广为一、定积分的实际背景曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着y轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示：0x1x2xxnOxyy=f(x)0x=axn=b2．变速直线运动的路程二、定积分的概

5、念定理1定理2存在定理例1利用定义计算定积分解三、定积分的几何意义四、定积分的性质仍有解令于是解由积分中值定理知有使思考题一、变上限的定积分二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式3.2.2微积分基本公式3.2.2微积分基本公式一、变上限的定积分如右图所示:定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.例2求下列函数的导数：证明由复合函数求导法，得到二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式例4求定积分：思考题一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法3.2.3定

6、积分的积分方法3.2.3定积分的积分方法一、定积分的换元积分法应用换元公式时应注意:（1）（2）注意:求定积分一定要注意定积分的存在性.奇函数例6计算解（2）原式偶函数在对称区间上是奇函数，故（1）因为二、定积分的分部积分法例10计算解令则且当所以一、无穷区间上的广义积分二、无界函数的广义积分3.3广义积分3.3广义积分一、无穷区间上的广义积分无穷区间（无穷限）的广义积分也称为第一类广义积分.二、被积函数有无穷间断点的广义积分若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:无界函数的积分又称作第二类广义积分,无界点常称为瑕点(奇点).例如,间断点,而不

7、是广义积分.则本质上是定积分,注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则则可相消吗?例6.证明广义积分证:当q=1时,当q<1时收敛;q≥1时发散.当q≠1时所以当q<1时,该广义积分收敛,其值为当q≥1时,该广义积分发散.一、定积分应用的微元法二、用定积分求平面图形的面积三、用定积分求体积四、平面曲线的弧长3.2.4定积分的应用五、定积分的物理应用六、经济应用问题举例3.2.4定积分的应用用定积分计算的量的特点：一、定积分应用的微元法用定积分概念解决实际问题的四个步骤：定积分应用的微元法：微元法

8、中微元的两点说明：1.直角坐标系下的面积计算二、用定积分求平面图形的面积2.极坐标下的面积计算1.平行截面面