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1、20NO.《微积分》教案第五章不定积分§5.1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念1定义设是定义在区间上的函数，如果存在函数，对于,都有或,则称函数为函数在区间上的一个原函数.例如，是的原函数,因为.又因为,,所以和都是2的原函数.2．问题1：一个函数若有原函数，原函数是否唯一？（不唯一，无数多个）问题2：同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？如果，为函数在区间上的任意两个原函数,,,于是有.所以,或.回答：任意两个原函数相差一个常数。3．不定积分函数的所有原函数称为的不定积分，记作:.其中“”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量.由前面的讨论可知：
2、如果是的一个原函数,那么.例1求.解由于，所以是的一个原函数，因此20NO.《微积分》教案.例2求.解当时,我们知道，，亦有,即是的一个原函数，因此;当时，我们所要求的不定积分为.因为，因此．性质：1）或;2）或.4．可积函数类：如果函数在某一区间上连续，则在这区间上函数可积二、基本积分公式(1),（是常数）;(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);（11）;（12）;20NO.《微积分》教案（13）;（14）;（15）.三、不定积分的性质性质1（1）事实上，.推广：有限个函数的和的情况也有这一性质.性质2（为常数，）.例3求.解.例4.解.例5
3、求.解==20NO.《微积分》教案.例6求解.例7已知曲线在其上点的切线斜率，且曲线经过点,，求此曲线方程．解设曲线方程为，由假设，图5.1-1故=即，为常数，曲线经过点（2，），以此点坐标代入方程，得，解得.因此所求方程为.例8已知某产品的边际收入函数为(为销售量),求总收入函数.解.当时,,从而,于是§5.2换元积分法20NO.《微积分》教案一、第一类换元法1．引例 求．解 ，令2，得,代回原变量，得.一般的我们有如下结论：2．定理设是的连续函数，且，设有连续的导数，则=．证明只需证明即可．，又由，故例1 求.解令，则，故.例2求．解=因为，设x，则，因此，=.练习： ．熟练
4、以后，可直接写出结果:例3求.20NO.《微积分》教案解=.例4 求>）.解.例5 求.解由于,所以.例6求.解=.例7求与.解=..例8求.20NO.《微积分》教案解.又=.所以上述不定积分又可表示为.练习：例9求.解利用积化和差公式,得,所以.二、第二类换元法定理设函数严格单调、可导且，设具有原函数.则，其中是的反函数.证设，只需证而.20NO.《微积分》教案去根号例1求.解作变量代换(以消去根式)，于是，,从而.例2求(>).解积分难点在于被积函数中的根号，为去掉根号，令，,则,,,回代变量，由，得,,故有.例3求>解利用三角公式来化去根式，设<<,则,,于是20NO.《微
5、积分》教案.由，得,因此,,其中.例4求>解设>，令，利用公式有，于是有，注意：两边取导数得所以,其中.例5求解为化去根式，令，则，，20NO.《微积分》教案.将回代得.例6求.解.例7求.解.20NO.《微积分》教案§5.3分部积分法，移项得,.对这个等式两边求不定积分，得.（1）简便起见,公式（1）常写成下面的形式：.（2）例1．求.解这个积分用换元积分法不易求得结果。现在试用分部积分法来求它。设，,则，，利用分部积分公式（2）得.注意：恰当选取和，一般要考虑下面两点：（1）要容易求得；（2）要比容易积出.例2.求.解设，,则，,于是.例3.求.解设，,则，,利用公式（2）得
6、..熟练以后，不必写出、，只要在心里想着就可以了.例4.求.解.20NO.《微积分》教案例5.求.解.例6.求.解注意到与所求积分是同一类型的，需再用一次分部积分，..例7.求.解,20NO.《微积分》教案.例8.求（其中为正整数）.解当n>1时,于是由此作递推公式，并由,即得.20NO.《微积分》教案§5.4几种特殊类型的函数的积分一、有理函数的积分1．有理函数,（1）其中、分别是关于的次和次的实系数多项式.当时，称为有理真分式;时,称为有理假分式.对于有理假分式,的次数大于的次数，应用多项式的除法，,（2）即有理假分式总能化为多项式与有理真分式之和.多项式的积分容易求得,故只
7、需讨论有理真分式的积分.2．将有理真分式写成简单真分式的和设,<.如果.......，其中、、...、、...是正整数，各二次多项式无实根，则可唯一地分解成下面形式的部分分式之和......+............}（3）其中：,,...,,,...,,...,,...,20NO.《微积分》教案,,...,,,...,都是实常数.3．求简单真分式的积分：最终归结为求下面四类部分分式的积分：（1）,（2）（......）,（3）,（4）（......）.其中为常数，且二次式无实根
