《定积分的应用》word版

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1、第七章定积分的应用一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．掌握定积分的微元法.2．会用定积分的微元法求平面图形的面积.3．会用定积分的微元法求旋转体的体积.4．会用定积分的微元法求变力所做的功.5．会用定积分的微元法求液体的侧压力.重点定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积.难点定积分的微元法，微元法在实际问题中的应用.（二）内容提要1．定积分的微元法(1)在区间上任取一个微小区间,然后写出在这个小区间上的部分量的近似值,记为(称为的微元)；（2）将微元上无限“累加”，即在上积分，得上述两步解决问题的方法称为微元法

2、.关于微元，我们有两点要说明：①作为的近似表达式，应该足够准确，确切地说，就是要求其差是关于的高阶无穷小，即.称做微元的量，实际上就是所求量的微分.②具体怎样求微元呢？这是问题的关键，需要分析问题的实际意义及数量关系。一般按在局部上以“常代变”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元.2.面积微元与体积微元（1）面积微元①由曲线轴所围成的图形,其面积微元,面积.②由上下两条曲线所围成的图形，其面积微元，面积.③由左右两条曲线所围成的图形，其面积微元，面积（注意，这时应取横条矩形为，即取为积分变量）.（2）体积

3、微元不妨设直线为轴，则在处的截面面积是的已知连续函数，求该物体介于和之间的体积.用“微元法”.为求出体积微元，在微小区间上视不变，即把上的立体薄片近似看作以为底，为高的柱片，于是其体积微元，再在的变化区间上积分，则有.3．弧微元与平面曲线弧微分公式设曲线在上有一阶连续导数,仍用微元法，取为积分变量，在上任取小区间，切线上相应小区间的小段的长度近似代替一段小弧的长度，得弧长微元为,这里.二、主要解题方法（微元法）1．求平面图形的面积的方法例1求下列曲线所围成的图形的面积(1)抛物线与直线，(2)圆.解(1)先画图，如图所示，并由方程，求出

4、交点为（2，），（8，2）.解一取为积分变量,的变化区间为[，2]，在区间[，2]上任取一子区间[，+]，则面积微元=,则所求面积为==（）=9.解二取为积分变量，的变化区间为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间，需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.在区间[0，2]上任取一子区间[，+]，则面积微元1=,在区间[2，8]上任取一子区间[，+]，则面积微元2=[],于是得=1+2=+=+[]=9.显然，解法一优于解法二。因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便.(2)如图，利用极坐标计算.的变化区间为

5、[，]则面积微元==,于是所求图形的面积为==2,利用对称性，得=4=2=2（+）=,事实上，表示一个半径为的圆.面积=是正确的.小结计算面积时要注意：（1）适当选择坐标系，以便简化计算.如题（2）若采用直角坐标系计算就比较麻烦.一般地曲边梯形宜采用直角坐标系，曲边扇形宜采用极坐标系.（2）要考虑图形的对称性.（3）积分区间尽量少分块.2．求旋转体体积的方法例2求由曲线,直线,,绕轴旋转一周而形成的立体体积.解先画图形，因为图形绕轴旋转，所以取为积分变量，的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[,+]的小窄条，绕轴旋转而

6、形成的小旋转体体积，可用高为，底面积为的小圆柱体体积近似代替，即体积微元为==,于是，体积==1616=12.小结求旋转体体积时，第一要明确形成旋转的平面图形是由哪些曲线围成，这些曲线的方程是什么；第二要明确图形绕哪一条坐标轴或平行于坐标轴的直线旋转,正确选择积分变量，写出定积分的表达式及积分上下限.3．求曲线的弧长的方法例3(1)求曲线上从0到3一段弧的长度,(2)求圆的渐开线方程,上相应于从0到的一段弧的长度.解(1)由公式=（）知,弧长为=====.(2)因为曲线方程以参数形式给出，所以弧微元为,=,=,故==,故所求弧长为===

7、=.4．求变力做功的方法例4设有一弹簧，假定被压缩0.5cm时需用力1N（牛顿）,现弹簧在外力的作用下被压缩3cm，求外力所做的功.解根据胡克定理，在一定的弹性范围内，将弹簧拉伸（或压缩）所需的力与伸长量（压缩量）成正比，即=（为弹性系数）按假设当=0.005m时，=1N，代入上式得=2N/m,即有=200,所以取为积分变量，的变化区间为[0，0.03]，功微元为==200,于是弹簧被压缩了3cm时，外力所做的功为===0.09（J）.5．求液体对侧面的压力的方法例5一梯形闸门倒置于水中，两底边的长度分别为，（）,高为，水面与闸门顶齐平

8、，试求闸门上所受的压力.解取坐标系如图所示,则的方程为,取水深为积分变量，的变化区间为[0，]，在[0，]上任取一子区间[，+]，与这个小区间相对应的小梯形上各点处的压强=(为水的比重),小梯形上所受的水压