《定积分应用》word版

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1、第六章定积分的应用内容概要名称主要内容定积分的元素法定积分的元素法是一种简单记忆定积分（）三步骤的方法：1、将记为2、将写为平面图形的面积直角坐标系X-型Y-型极坐标系体积旋转体体积已知平行截面面积的立体体积绕x轴旋转：已知垂直于x轴的平面截立体所得截面面积为,立体又被夹于和两平面间，则：已知垂直于y轴的平面截立体所得截面面积为,立体又被夹于和两平面间，则：绕y轴旋转：绕y轴旋转：平面曲线的弧长直角坐标参数方程极坐标：，；：：，；；物理应用：1、变力沿直线作功2、水压力3、引力课后习题全解习题6-2★1．求由曲线与直线所围图形的面积。知识点：平面图形的面积思

2、路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-101图6-2-1∵所围区域D表达为X-型：，（或D表达为Y-型：）∴（）★2．求在区间[0，/2]上，曲线与直线、所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-20图6-2-21∵所围区域D表达为X-型：，（或D表达为Y-型：）∴（）★★3．求由曲线与所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-304图6-2-3∵两条曲线的交

3、点：，∴所围区域D表达为Y-型：，∴（由于图形关于X轴对称，所以也可以解为：）★★4．求由曲线、、及直线所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-401图6-2-412∵第一象限所围区域表达为Y-型：，∴（若用X-型做，则第一象限内所围区域，其中：，：；∴）★★5．求由曲线与直线及所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-501图6-2-521∵两条曲线和的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和分别交于

4、、∴所围区域表达为X-型：，∴★★★6．抛物线分圆的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为，剩余面积为0图6-2-602∵两条曲线、的交于（舍去的解），∴所围区域表达为Y-型：；又图形关于x轴对称，∴（其中）∴★★★7．求由曲线、与直线所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-701图6-2-71∵两条曲线和的交点为（0，1），又这两条线和分别交于和∴所围区域表达为X

5、-型：，∴★★★8．求由曲线与直线及所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-801图6-2-8∵在的定义域范围内所围区域：，∴★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；（2）它与x轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为，（由于下弯，所以），将（1，2）代入，得到，因此该抛物线和X轴

6、的交点为和，∴所围区域：∴得到唯一极值点：，∴所求抛物线为：★★★★10．求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：，∴在任一点处的切线方程为而过（0，0）的切线方程就为：，即所求图形区域为,见图6-2-100图6-2-10X-型下的：，：∴★★★11．求由曲线所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为、圆心（）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为，也可选择极坐标求面积的方法做。解：∵作图6-1-

7、110图6-1-11知所求图形区域：∴★★★12．求三叶玫瑰线的面积知识点：平面图形面积图6-2-120思路：三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶，而一叶图形又关于对称，因此选择其中一叶的一半区域求其面积解：∵：∴★★★13．求由曲线所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域求其面积图6-2-130解：∵：∴★★★14．求对数螺线及射线所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线围成的图形是由，从到一段曲线及射线所围，由此可确定、的范围图6-2-140解：∵所

8、围区域：∴★★★★15．求由曲线及所围图形的面积知识