《定积分题型》word版

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1、1.求变限函数导数的问题利用下面的公式即可例1．求；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．解=====．2.方程根的存在性例1 设函数f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且证明在（0。1）内存在一点，使.证由积分中值定理知，在上存在一点c，使且，由f(x)在(0，c)上连续，在[0，c]内可导，f(0)=f(c)，由罗尔定理知至少存在一点使例2 设函数f(x)在上连续，且，试证：在内至少存在两个不同的，使   证法一 令则有，又因,所以存在，使因为若不然，则在内或F（x）sinx恒为正或F(x)sinx恒为负，均与矛盾.但当时，知再对F(x)在区间上分别应

2、用罗尔定理，知至少存在，使 即证法二 由知，存在，使，因若不然，则在内或f(x)恒为正，或f(x)恒为负，均于矛盾.若在内f(x)=0仅有一个实根，则由知，f(x)在内与内异号，不妨设在内f(x)>0，在内f(x)<0，于是再由与及cosx在上单调性知，得出矛盾，从而知，在内除处，至少还有另一实根.故知存在， 例3.设f(x)在[a,b]上连续，且   证明 F(x)在(a,b)内有且仅有一个根。   证 由         且F（x）在[a,b]上连续，由根的存在定理知至少存在一点，使   由于，知F(x)在[a,b]上严格递增，故F(x)在(a,b)内仅有一根。3.

3、适合某种条件的存在性例1.设在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且满足证明至少存在一点,使证 ：由及积分中值定理，知至少存在一点，使得令由在[c,1]上连续，在（c,1）内可导。由罗尔定理知，至少存在一点，使得，由得  即 例2 设f(x)在[a,b]有二阶连续导数，试证在[a,b]上至少存在一点c，使   证法一 令并在处展成泰勒公式，其中介于、之间，分别将代入得   （1）     （2）（2）—（1）得，其中，而.由导数的达布定理知，存在，使，因此   证法二 由泰勒公式展开式知，其中介于，之间.设，则，由，知至少存在一点，使或所以    注1：证法2中的是介

4、于之间，变，也变，故不能提到积分号的前面注2：若 连续改成存在，只能用证法一，不能用证法二。   例3.设f(x)在[-a,a]上存在连续的二阶导数，f(0)=0，证明至少存在一点，使分析 由于涉及二阶导数且与函数f(x)有关，考虑用泰勒公式证 由泰勒公式知其中介于0,之间，于是  因为在[-a,a]上连续，设，知，得，由，知至少存在一点，使即因此有4.定积分不等式证明例1．证明：若函数在区间上连续且单调增加，则有．证法1令=，当时，，则===．故单调增加．即，又，所以，其中．从而=．证毕．证法2由于单调增加，有，从而．即==．故．例2 设f(x)在[0,1]上导数连续

5、，试证：，有证 由条件知

6、f(x)

7、在[0,1]上连续，必有最小值，即存在由，例3.设f(x)在[a,b]上连续，且则。分析 由，知f(x)是凹的，利用凹的不等式性质来证明。   证 令 ，于是利用例12的证法一结果 又知即或者用下面方法证设，得，于是   由由凹亽不等式知，从而             即 5.定积分等式的证明例1；设f(x)是以为周期的连续函数，证明.证 而     故6.利用定积分及其性质研究函数的有关问题例1.（97研）设函数连续，，且（为常数），求并讨论在处的连续性．分析求不能直接求，因为中含有的自变量，需要通过换元将从被积函数中分离出来，然后

8、利用积分上限函数的求导法则，求出，最后用函数连续的定义来判定在处的连续性．解由知，而连续，所以，．当时，令，，；，．，则，从而．又因为，即．所以=．由于=．从而知在处连续．例2.（00研）设函数在上连续，且，．试证在内至少存在两个不同的点使得．分析本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数，找出的三个零点，由已知条件易知，，为的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明在之间存在两个零点．证法1令，则有．又，由积分中值定理知，必有，使得=．故．又当，故必有．于是在区间上对分别应用罗尔定理，知至少存在，，使得，即．证法2由已知

9、条件及积分中值定理知必有，，则有．若在内，仅有一个根，由知在与内异号，不妨设在内，在内，由，，以及在内单调减，可知：=．由此得出矛盾．故至少还有另一个实根，且使得例3求连续函数f(x)，使解令则代入原式左边得   等式两边对x求导有  ，化简得    两边不定积分得   .令，代入上式有 ，又代入上式得，故例5证明：若上的连续函数f(x)满足关系式，则f(x)必为周期函数.证设则.因而，又  ，即 所以f(x)是以1为周期的周期函数.