《定积分习题》word版

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1、第七章定积分习题课一、主要内容1、可积性的判断重点掌握：1个定义、三个充要条件一个定义指的是定积分的定义，要深刻理解定积分的定义，掌握定义的灵活应用，掌握利用定义证明简单函数的可积性，掌握定义中的两个任意性（分割和点的选取）的应用，即在已知函数可积的条件下，可在定义中取特殊的分割和特殊的分点，从而求解一个和式的极限得到定积分。三个充要条件指的是判断函数可积的三个充分必要条件，第一充要条件通常用来处理简单的特殊的具体函数的可积性，因为只有这样的函数才容易计算其上下和；常用的是第二充要条件：将可积性的证明转化为分割关系和振幅关系的讨论；当讨论的函数涉及到连续点的结

2、构或不连续点的分布时，用第二个充要条件。定义和三个条件都是函数可积的充分必要条件，但是，这4个条件使用的对象不同，定义给出的条件既是定性的又是定量的，更侧重于定量方面，通常涉及到定积分量的方面时，要首先考虑用定义处理；第一充分必要条件既是定性条件，又是定量条件，但是，它大多用于简单特殊的具体函数的不可积性的论证；第二充要条件是定性条件，只能用于判断函数的可积性，且侧重于研究好函数的可积性，但对相应的定积分值没有任何信息；第三充分必要条件也是定性的，它侧重于研究较差的函数的可积性，特别涉及到连续点的结构时，通常用第三充分必要条件。2、不可积的判断常用的方法有：定

3、义法――通过选取不同的特殊分割和分点，使得对应的和式极限或不存在或不相同；Darboux和法――利用Darboux上下和极限的不同得到不可积性。3、定积分的性质53要掌握利用定积分的性质研究各种定积分问题。4、变限积分函数的性质变限积分函数给出了一类新的函数形式，引入了一类新函数，要求掌握这类函数的运算和性质。5、定积分的计算掌握定积分计算的各种方法和技巧，包括：基本公式――转化为不定积分的计算，因而，可使用不定积分计算的相应技巧和方法；特殊结构的特殊处理方法。如被积函数为奇偶函数或具有周期性质时。6、关于定积分的综合运用如计算有限和的极限、积分性质的研究、积

4、分与微分的关系研究等。二、例题分析A、可积性的讨论经常会遇到如下几种情形：1、具体函数的可积性讨论：通常用定义结合特殊的有限和的极限判断可积性，但是，当给出的具体函数有有限个间断点或无限个间断点存在极限点时，需用第三充要条件讨论可积性。2、抽象函数的可积性讨论：简单情形下，若知道函数更高级的分析性质如连续、可微等性质时，用第二充要条件证明其可积性此时；一般情形下，通常给出一个函数关系和一个函数的可积性，判断另一个相关函数的可积性，此时通常通过研究函数间的振幅关系来研究其可积性的关系，当函数分析性质较好时用第二充要条件来处理，当函数分析性质较差时用第三充要条件来

5、处理。事实上，能够用第二充要条件的地方通常也能用第三充要条件，只是第二充要条件使用时更简洁，更好用，因此，第三充要条件处理的题目更一般。3、若题目要求不仅要证明可积性，还要证明积分关系式时（既有定性分析，也有定量分析），此时通常用定义来处理。4、论证函数不可积时，通常考虑用第一充要条件。53例1讨论的函数在[0,1]上的可积性。分析这是具体函数可积性的讨论，且函数的连续点的结构不清楚，因此，选择定义讨论其可积性。由于要证明的结论还不明确，函数即可能可积，也可能不可积，因此，这类题目较难，通常的处理方法是试探性方法，即先利用特殊的有限和的极限试探出可能的积分值，

6、然后再用其它的特殊的有限和试探其正确性，根据试探的结果作出判断，最后给出结论的验证。解、对任意的分割T，对应的下和为：，因此，函数若可积，则必有。另，对n等分割，对应的上和为，因此，函数若可积，必有必有。综合上述分析，函数不可积。注、例1也可以借助连续点的结构来判断，即利用结论“函数可积的充要条件是不连续点的测度为0”。例1的函数的连续性是可以判断的，事实上，可以证明，函数在x＝0点连续，其余点是不连续性，因而，函数的不连续点的集合的测度为1，故函数是不可积的。但是，我们不能直接用这个结论直接判断，因为就我们所学习的积分理论中，没有这个结论，因此，必须用已知的

7、结论给予证明。当然可以利用这个结论作辅助性判断。例2讨论函数在[0,1]上的可积性。53分析处理思想如同前例，我们用更简洁的方法。解、对[0,1]作n等分割，则函数若可积，则必有，其中。但是，若取为无理数，则，若取，则综合上述分析，函数不可积。注、例2中函数在x＝0、1时连续，其余点间断，函数不可积。我们将例2进行修改，继续讨论定义的灵活运用。例3讨论函数在[0,1]上的可积性。分析此时例2的方法不再适用，原因是此时两个有限和的极限都为0，由由于取时对应的并不是上和，因而，还不能判断函数是可积的，更不能判断函数是不可积的。注意到时函数在有理点取值变号，因此，考

8、虑将53分段取值，试探函数的可积性，从