《定积分练习题》word版

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1、第九章定积分练习题§1定积分概念习题1．按定积分定义证明：2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）（2）（3）（4）§2牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）（7）（8）2．利用定积分求极限：（1）（2）（3）（4）3．证明：若f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续，且除有限个点外有F＇（x）=f(x),则有§3可积条件1．证明：若Tˊ是T增加若干个分点后所得的分割，则2．证明：若f在[

2、a,b]上可积，.3.设f﹑g均为定义在[a,b]上的有界函数。证明：若仅在[a,b]中有限个点处则当f在[a,b]上可积时，g在[a,b]上也可积，且3．设f在[a,b]上有界，证明：在[a,b]上只有为其间断点，则f在[a,b]上可积。4．证明：若f在区间上有界，则。§4定积分的性质1.证明:若f与g都在[a,b]上可积,则其中是T所属小区间△i中的任意两点,i=1,2…,n.2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小:(1)(2)3.证明下列不等式:(1)(2);(3)(4)4.设f在[

3、a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,证明5.设f与g都在[a,b]上可积,证明在[a,b]上也都可积.6.试求心形线上各点极径的平均值.7.设f在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足证明在[a,b]上也可积.8.进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理9.8)中的中值点ξ∈(a,b).9.证明:若f与g都在[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,M、m分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界,则必存在某实数μ(m≤μ≤M),使得10.证明:若f在[a,b]上连续,且则在(a,

4、b)内至少存在两点x1,x2,使f(x1)=f(x2)=0.又若这时f在(a,b)内是否至少有三个零点?11.设f在[a,b]上二阶可导,且.证明:(1)(2)又若则又有12.证明:(1)(2)§5微积分学基本定理·定积分计算(续)习题1．设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合f°u与f°v证明：2．设f在[a,b]上连续，证明F”3．求下列极限：（1）（2）4．计算下列定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）5.设f在[-a,a]上可积。证

5、明：（1）若f为奇函数，则（2）若f为偶函数，则6．设f为（-∞，+∞）上以p为周期的连续周期函数。证明对任何实数a，恒有7．设f为连续函数。证明：（1）（2）8．设J（m,n）为正整数）。证明：并求J(2m,2n).9．证明：若在（0，∞）上f为连续函数，且对任何a＞0有，则为常数。10．设f为连续可微函数，试求并用此结果求11．设为[a,b]上严格增的连续曲线（图9-12）。试证存在ξ∈（a,b），使图中两阴影部分面积相等。12．设f为[0，2π]上的单调递减函数。证明：对任何正整数n恒有13

6、．证明：当x＞时有不等式14．证明：若f在[a,b]上可积，则有※15.证明：若在[a,b]上f为连续可微的单调函数，则存在使得（提示：与定理9.11及其推论相比较,这里的条件要强得多,因此可望有一个比较简单的,不同于9.11的证明.）※§6可积性理论补叙1.证明性质2中关于下和的不等式(3).2.证明性质6中关于下和的极限式.3.设试求在[0,1]上的上积分和下积分;并由此判断在[0,1]上是否可积.4.设在[a,b]上可积,且上是否可积?为什么?5.证明:定理9.14中的可积第二充要条件等价于

7、“任给都有.6.据理回答:(1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质?(2)何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等”的性质？(3)对于可积函数，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的结论？7．本题的最终目的是要证明：若在[a,b]上可积，则在[a,b]内必定有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明：（1）若T是[a,b]的一个分割，使得S（T）s(T)

8、明为一区间套，从而存在而且在点x0连续。（5）上面求得的的连续点在[a,b]内处处稠密。总练习题1．证明：若在[0，a]上连续，二阶可导，且，则有2.证明下列命题：（1）若在[a,b]上连续增，则F为[a,b]上的增函数。（2）若在上连续，且（x）>0，则为上的严格增函数，如果要使在上为严格增，试问应补充定义（0）=？3、设在上连续，且证明4．设是定义的上的一个连续周期函数，周期为p证明1．证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。2．证明施