《定积分概念》word版

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1、第一节定积分概念教学目的：使学生了解定积分概念，掌握定积分的性质。教学重点：定积分概念的理解与性质的应用。教学过程：一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形,每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替,每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积,则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是:在区间[a,

2、b]中任意插入若干个分点a=x0

3、边梯形面积A的近似值,即A»f(x1)Dx1+f(x2)Dx2+×××+f(xn)Dxn.求曲边梯形的面积的精确值:显然,分点越多、每个小曲边梯形越窄,所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值,因此,要求曲边梯形面积A的精确值,只需无限地增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零.记l=max{Dx1,Dx2,×××,Dxn},于是,上述增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零,相当于令l®0.所以曲边梯形的面积为.2.变速直线运动的路程设物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]

4、上t的连续函数,且v(t)³0,计算在这段时间内物体所经过的路程S.求近似路程:我们把时间间隔[T1,T2]分成n个小的时间间隔Dti,在每个小的时间间隔Dti内,物体运动看成是均速的,其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点xi的速度v(ti),物体在时间间隔Dti内运动的距离近似为DSi=v(ti)Dti.把物体在每一小的时间间隔Dti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T1,T2]内所经过的路程S的近似值.具体做法是:在时间间隔[T1,T2]内任意插入若干个分点T1=t0

5、=T2,把[T1,T2]分成n个小段[t0,t1],[t1,t2],×××,[tn-1,tn],各小段时间的长依次为Dt1=t1-t0,Dt2=t2-t1,×××,Dtn=tn-tn-1.相应地,在各段时间内物体经过的路程依次为DS1,DS2,×××,DSn.在时间间隔[ti-1,ti]上任取一个时刻ti(ti-1

6、求变速直线运动路程S的近似值,即;求精确值:记l=max{Dt1,Dt2,×××,Dtn},当l®0时,取上述和式的极限,即得变速直线运动的路程.设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.求直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a=x0

7、,以[xi-1,xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为(i=1,2,×××,n);所求曲边梯形面积A的近似值为.(3)记l=max{Dx1,Dx2,×××,Dxn},所以曲边梯形面积的精确值为.设物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]上t的连续函数,且v(t)³0,计算在这段时间内物体所经过的路程S.(1)用分点T1=t0

8、1,2,×××,n).(2)任取tiÎ[ti-1,ti],在时间段[ti-1,ti]内物体所经过的路程可近似为v(ti)Dti(i=1,2,×××,n);所求路程S的近似值为.(3)记l=max{Dt1,Dt2,×××,Dtn},所求路程的精确值为.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义,抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括,就抽象出下述定积分的定义.定义设函数f(